1、考研数学三（微积分）模拟试卷 142 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）和 （x）在（一 ，+ ）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0， （x）有间断点，则（ ）（A）（f （x）必有间断点（B） （x） 2 必有间断点（C） f（ x）必有间断点（D） 必有间断点2 设 f（ x）=|（x1）（x2） 2（x3） 3|，则导数 f（x）不存在的点的个数是（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f（x）在（一，+）存在二阶导数，且 f（x）=f（x），当 x0 时有 f（x）0 ，f“ （x） 0，则当 x0 时，
2、有（ ）（A）f（x） 0，f“ （x）0（B） f（x）0，f“ （x）0（C） f（x）0，f“ （x）0（D）f（x） 0，f“ （x）04 设 f（ x）在（一，+）可导，x 00，（x 0，f（ x0）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（A）x 0 必是 f（x）的驻点（B）（ x0，一 f（ x 0）必是 y=一 f（x）的拐点（C）（ x0，f（ x 0）必是 y=一 f（x）的拐点（D）对任意的 xx 0 与 xx 0，y=f（x）的凹凸性相反5 设 g（x）= 0xf（u）du，其中 f（x）= 则 g（x）在区间（0，2）内（ ）（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续6
3、函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ）7 设 f（ x，y）在 D:x2+ y2a2 上连续，则（A）不一定存在（B）存在且等于 f（0，0）（C）存在且等于 f（0， 0）（D）存在且等于8 设区域 D=（x，y）|x 2+ y24，x0，y0 ，f（x）为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则（A）ab（B）（C）（ a+b）（D）9 设 （a 2n1+a2n）收敛，则（ ）10 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）二、填空题11 1
4、2 若函数 f（x）= 在 x=1 处连续且可导，那么a=_，b=_。13 14 设 y= y（x ）是由方程 2y32y2+2xyx2=1 确定的，则 y=y（x）的极值点是_。15 16 17 设 z=f（lnx+ ），其中函数 f（u）可微，则 =_。18 积分 01dxx2ey2dy=_。19 已知幂级数 an（x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 an（x一 3） n 的收敛域为_。20 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求极限22 设 a 为常数，讨论方程 ex= ax2 的实
5、根个数。23 设奇函数 f（x）在 1，1上具有二阶导数，且 f（1）=1，证明：（）存在 （0，1），使得 f（）=1 ；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f （）=1。24 设 f（x）在区间a，b上可导，且满足证明至少存在一点 （a ，b），使得f（ ）=f（ ）tan。25 设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的值，使等式通过变换 =x+ay，=x+by 可化简为 =0。26 计算二重积分 ，其中区域 D 由曲线 r=1+cos（0）与极轴围成。27 已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1，y）=0，f（x，1）=0， f（x，y）
6、dxdy=a，其中 D=（x，y|0x1，0y1，计算二重积分 I= xy fxy“（ x，y）dxdy。28 求幂级数 的收敛域及和函数。29 求微分方程 y“一 3y+2y=2xex 的通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 142 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f（x）=1，x（一，+）， （x）= 则 f（x），（ x）满足题设条件。由于 （f（x）=1， （x） 2=1，f（x）=1 都是连续函数，故可排除 A、B、C，应选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 考查带有绝对值的函数在 x
7、0 点处是否可导，可以借助如下结论： 设f（x）为可导函数，则 （1）若 f（x 0）0，且 f（x）在 x0 处可导，则|f（x）| 在 x0处可导； （2）若 f（x 0）=0，且 f（x 0）=0，则|f（x）|在 x0 处可导； （3）若f（x 0） =0，且 f（x 0）0，则|f（x）| 在 x0 处不可导。 设 （x）=（x1）（x2） 2（x3） 3，则 f（x）=|（x）|。f（x）不存在的点就是 f（x）不可导的点，根据上述结论可知，使 （x） =0 的点 x1=1，x 2=2，x 3=3 可能为不可导点，故只需验证 （x i），i=1 ，2 ，3 是否为零即可，而 （x）
8、=（x2） 2（x3）3+2（x 1）（x2）（x3） 3+3（x1）（x2） 2（x3） 3，显然，（1）0，（2） =0，（3）=0 ，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f（x）=f（x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即 f（x）为奇函数，f“ （x）为偶函数，因此当 x0 时，有 f（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有 f（x）0，f“（x） 0。故选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 从几何意义上分析，y=f（x）与 y=f（x）的图形关于原
9、点对称。x00，（x 0，f（x 0）是 y=f（x）的拐点，那么（ x0， f（x 0）是 y= f（x ）的拐点。故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f（x）在区间0，2上只有一个第一类间断点（x=1 为 f（x）的跳跃间断点），所以 f（x）在该区间上可积，因而 g（x）= 0x f（u ）du 在该区间内必连续，故选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知，f（ x，y）的两个一阶偏导数 fx（x，y）和 fy（x，y）在（0，0）点连续，因此 f（x ，y）在（0，0）点可微。故选 D。【知识模块】 微积分7 【正确答案】
10、 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时，级数 （a 2n1+a2n）为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =（a 1+a2）+ （a 3+a4）+（a 2n1+a2n）有上界，从而可知正项级数 an 的部分和数列 Sn=a1+a2+an 有上界，则级数 an 必收敛，故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件可得由 y1+y2 仍是该方程的解，得（y 1+2）+p（x）（ 1+y2）=（+）q （x
11、），则 +=1；由 y1 一y2 是所对应齐次方程的解，得（y 1一 y2）+p（ x）（y 1 一 y2）= （ 一 ）q（x），那么 一 =0。综上所述 = 。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 a=2，b=1【试题解析】 因 f（x）在 x=1 处连续，则 f（x）=f（1），即1=a+b。若函数 f（x）在 x=1 处可导，必须有 f（1）=f +（1）。由已知可得因此可得 a=2，b=1。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x
12、求导，可得 y（3y 22y+x）=xy， （*）令 y=0，有 x=y，代入 2y32y2+2xy x2=1 中，可得（x1）（2x 2+x+1）=0。那么 x=1是唯一的驻点。下面判断 x=1 是否为极值点：在（*）两端对 x 求导得 y“（3y 22y+x） +y（3y 22y+x） x=1y，把 x=y=1，y （ 1）=0 代入上式，得 y“（1）= 0 。故 y（x）只有极值点为 x=1，它是极小值点。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 1【试题解析】 原式可化为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 0【试题解析】 因为【
13、知识模块】 微积分18 【正确答案】 （1 e 4）【试题解析】 如图 14 14 积分区域，则【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （1，5【试题解析】 由题意可知， an（x+2） n 的收敛域为（一 4，0，则 anxn 的收敛域为（一 2，2。所以 an（x 一 3） n 的收敛域为（ 1，5。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 将已知方程变形整理得， 根据通解公式得，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根。以下讨论当 a0 时的情形，由题意知x=0
14、显然不是原方程的根，设当 x0 时，f（x）0；当 0x2 时，f（ x）0；当 x2 时，f （ x）0。且所以当 a0 时，f（x）在区间（一 ，0）上有唯一实零点。又在区间（0，+）上，f min（x）=f（2）= a。当 a 时，f（x）在区间（0，+）上无实数根；当 =a 时，f（x）在区间（0，+ ）上有唯一实数根；当 a 时， f（2）0，而且 =+，f（x）在（0，+）上有两个实数根。综上所述，当 a0 时，f（x）=0 无实根；当a0 时，仅当 x0 时，f（x）=0 有唯一实根；当 =a 时，f（x）=0 仅有两个实根，一正一负；当 a 时，f（x）=0 恰有三个实根，一负
15、两正。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）令 F（x）=f （x）x，F（0）=f（0）=0，F （1）=f（1）1=0，则由罗尔定理知，存在 （0，1）使得 F（）=0，即 f（）=1。（）令 G（x）=e xf（x）1，由（）知，存在 （0，1），使 G（ ）=0，又因为f（x）为奇函数，故 f（x ）为偶函数，知 G（一 ）=0 ，则存在 （一 ，）（1，1），使得 G（）=0，即 e（f（）1）+e “（）=0，f“（）+f（ ）=1。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 f（x）在区间a ，b上可导，知 f（x）在区间a，b上连续，从而 F（x）=f（x）cosx 在
16、上连续，由积分中值定理，知存在一点使得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 （c，b） （a，b）使 F（ ） =f（）cos f（）sin=0，即f（ ）=f（ ）tan，（a，b）。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据已知将相关表达式分别代入等式，可得根据 10ab+12（a+b）+80，舍去 因此可知 a=2，b=，b=2。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意， =0d01+cosrcos rsin rdr= 0sin cos （1 +cos） 4d= 0 cos（1 + cos） 4dcos 令 u= cos 得，原式= 12u（1+u ） 4du=【知识模块】 微
17、积分27 【正确答案】 将二重积分 xyfxy“（x，y）dxdy 转化为累次积分可得xyfxy“（x，y） dxdy=f 01dyf01xyfxy“（x，y）dx。首先考虑 01xyfxy“（x，y）dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 01xyfxy“（x，y）dx= y 01xyfy（x，y）=xyfy（x，y）| 01 一 01yfy （x，y）dx=yf y （1，y）yf y （x，y）dx。由f（1， y）=f（ x，1）=0 易知，f y（1，y）=f x（x， 1）=0 。所以 01xyfxy“（x，y）dx= 01yfy（ x，y）dx。因此 xyfxy“（x，y）dx
18、dy= 01dy01xyfxy“（x，y）dx=一01dyfy（x，y）dx，对该积分交换积分次序可得，一 01dy01yfy（x，y）dx=一01dx01yfy（x，y）dy 再考虑积分 01yfy（x，y）dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 01yfy（x，y）dy= 01ydf（x，y）= yf（x，y）| 01 一 01f（x，y）dy= 01f（x，y）dy ，因此 xyfxy“（x，y） dxdy= 01dx01yfy（x，y）dy=01dx01f（x，y）dy= f（x，y）dxdy=a 。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 所以当 x21，即一1x1 时，原幂级
19、数绝对收敛。当 x=1 时，级数为 显然收敛，故原幂级数的收敛域为一 1，1。因为又 f（0）=0，所以 f（x ）= 0xf（t）dt+f（ 0）=arctanx 。从而 S（x）=xarctanx ，x一 1，1。即收敛域为一 1，1 ，和函数 S（x）=xarctanx。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0，由此得r1=2，r 2=1。即对应齐次方程的通解为 y=C 1e2x+C2ex。 设非齐次方程的特解为 y*=（ax+b）xe x， 则 （y *） =ax2+（2a+b）x+be x。 （y *） “=ax2+（4a+b）x+2a+2bex， 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C1e2x+C2ex 一x（x+2 ）e x。（C 1，C 2 为任意常数）【知识模块】 微积分
