1、考研数学三（微积分）模拟试卷 144 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（A）x 2（B） 1cosx（C）（D）x tanx2 设 f（ x）=|x|sin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f（ x）为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y= f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为（ ）（A）2（B） 1（C）（D）24 曲线 y=（x 1） 2（x3） 2 的拐点个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）35 6 设函数 z（
2、 x，y）由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F+0，则（A）x（B） z（C） x（D）z7 设函数 f（x，y）连续，则二次积分 dxsinx1f（x，y）dy 等于（ ）（A） 01dy+arcsiny1f（x，y）dx（B） 01dyarcsiny1f（x，y）dx（C）（D）8 设级数 un 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ）9 正项级数 an 收敛是级数 an2 收敛的（ ）（A）充要条件（B）充分条件（C）必要条件（D）既非充分条件，又非必要条件10 若 y=xex+x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则（ ）（A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，
3、b=1，C= 一 2（C） a=一 3，b=一 3，c=0（D）a= 一 3，b=1，c=1二、填空题11 12 已知 则 f（x）=_。13 已知 xy=ex+y，则 =_。14 曲线 y=（ x 5） 的拐点坐标为_。15 16 由曲线 y= 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_。17 设函数 z= z（x，y）由方程（z+y ） x=xy 确定，则 |（1，2） =_。18 设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则 =_。19 二元函数 f（x，y）=x 2（2+y 2）+ylny 的极小值为_。20 级数 的和为_。21 微分方
4、程 ydx+（x 一 3y2）dy=0 满足条件 y|x=1 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求极限23 证明函数恒等式 arctanx= x（ 1，1）。24 设 f（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a ）=f（b）=1 ，证明：必存在 ，（ a，b）使得 ef（）+f （）=1。25 设 f（x）在0 ，a 上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a ，使得 0af（x）dx=af （0）+26 设函数 f（u）在（0，+ ）内具有二阶导数，且 满足等式（）验证 f“（u）+ =0；（）若 f（1）=0，f（1）=1，求函数 f（u ）的
5、表达式。27 设 D=（x，y）|（x1） 2+（y1） 2=2，计算二重积分 （x+ y）d 。28 求幂级数 的收敛区间与和函数 f（x）。29 设 f（t ）连续并满足 f（t）=cos2t+ 0xf（t）sinsds，求 f（t）。考研数学三（微积分）模拟试卷 144 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小代换。由于 x0 时，1cosx，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f（3） （0）不存在。因此 n=2，选
6、C。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中极限条件两端同乘 2，得由导数定义可知，f（1）= 一 2，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2（x1）（x3） 2+2（x1） 2（x3）=4（ x1）（x2）（x3），y“=4（x2）（ x3）+ （x1）（x3）+（x 1）（x2）=4（3x 212x+11），令 y“=0，得 x1=2 ，x 2=2+ 。又由y“= 24（x2），可得 y“（x 1）0，y“（x 2）0 ，因此曲线有两个拐点，故选C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常
7、积分，x=+1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 对已知的等式 两边求全微分可得即正确选项为B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知， x，sinxy1 ，可转化为 0y1， arcsinyx，故应选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 因为级数 un 收敛，而 un+1 与 un 只差一项，故 un+1 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 （u n+un+1）收敛，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 由于正项级数 =0。当 n
8、充分大时 0an2an，从而an2 收敛。但 an2 收敛时， an 不一定收敛，如 an= 因此，正项级数 an 收敛是级数 an2 收敛的充分条件，故选 B。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“-2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】
9、 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，f（x）=cosx;当 x0 时，f（x）=1；【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy=ex+y（1+y）即 y= 其中 y=y（x）是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数。故【知识模块】 微积分14 【正确答案】 （1，6）【试题解析】 已知 x=1 时，y“=0，在 x=1 左、右两侧的微小邻域内，y“异号；x=0 时，y“不存在，在 x=0左、右微小邻域内，y“ 0。其中），（1）=6，故曲线的拐点为（1，6）。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
10、】 微积分16 【正确答案】 4ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2 2ln2【试题解析】 把点（1，2）代入（z+y） 5=xy，得到 z（1，2）=0 。在（z+y） x=xy两边同时对 x 求偏导数，有 将x=1，y=2，z（1，2）=0 代入得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 g（x+y ）+xg“（x+y）+2y（xy）+xy 2“（xy）【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，f x= 2x（2+y 2），f y=2x2y +lny+1【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由麦克劳林
11、公式易知【知识模块】 微积分21 【正确答案】 x=y 2【试题解析】 对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以又 y=1 时 x=1，解得C=0，因此 x=y2。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则【知识模块】 微积分23 【正确答案】 要证明当 x（1，1）时，arctanx= 恒成立，只需证明函数 f（x）=arctanx =0 在 x（1，1）上恒成立。分两步进行证明：（1）证明 f（x）为常值函数，即 f（x）=0，x（1，1）；（2）在定义域内选取某一特殊点得
12、到其常函数值。因为故 f（x ）为常值函数。当 x=0 时，f （0）=0，即当 x（1，1）时，arctanx=恒成立。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F（x ）=e xf（x），由已知 f（x）及 ex 在a，b上连续，在（a，b）内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ， （a，b），使得 F（b） F（a ） = e bf（b）e a（a） = F（）（ b a）及 e bea= e（ba）。 将以上两式相比，且由 f（a ）=（b）=1，则有 ef（）+f（）=1。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 等式右端 0af（x）dx= 0af（x）d（x 一 a）=
13、（x a）f（x）| 0a 一0a（ xa）f（x）dx=af（0）一 0a（x a）f （x）dx 因为 f（x）连续，xa0（x 0， a），故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 0a（x 一a）f （x）dx=f（） 0a（ x 一 a）dx= 于是 0af（x）dx=af（0）+【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由f（1）=1 可得 C1=1。对等式 f（u）= 两边积分得 f（u） =lnu + C 2，由 f（1）=0可得 C2=0，故 f（u）=lnu。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 an所以当 x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（一 1，1）。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因 f（t）连续，因此 0xf（s）sinsds 可导，从而 f（t）可导，于是f（t）=cos2t+ 0xf（s ）insds，利用公式 f（t ）=esintdt2sin2t.esintdtdt+C，由 f（0）=1 得 C=e。因此，f（t）=e 1cost+4（cost 一1）。【知识模块】 微积分
