1、考研数学三（微积分）模拟试卷 145 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）= 则（ ）（A）f（x）在点 x=1 连续，在点 x=1 间断（B） f（x）在点 x=1 间断，在点 x=1 连续（C） f（x）在点 x=1，x=一 1 都连续（D）f（x）在点 x=1，x=1 都间断2 设 f（ x）=3x 3+x2|x|，则使 f（n） （0）存在的最高阶数 n 为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f（x）在闭区间a ，b上有定义，在开区间（a ，b）内可导，则（ ）（A）当 f（a）f（b）0 ，存在 （a ，b），
2、使 f（）=0（B）对任何 （a，b），有 f（x）一 f（ ）=0（C）当 f（a ）= （b）时，存在 f（a，b），使 f（）=0（D）存在 （a，b），使 f（b） f（a ）=f （）（ba ）4 设 f（ x）=|x（1x）|，则（ ）（A）x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）不是曲线 y=f（x）的拐点（B） x=0 不是 f（x）的极值点，但（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点（C） x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）x=0 不是 f（x）的极值点，且（0，0）也不是曲线 y=f（x）的拐点5 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的
3、收敛性（ ）（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关6 设函数 u（x，y）=（x+y）+ （x y）+ xyx+y（t ） dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ）7 累次积分 01dxx1f（x，y）dy+ 12 dy02yf（x，y） dx 可写成（ ）（A） 02dxx2xf（x，y）dy（B） 01dy02yf（x，y）dx（C） 02dxx2xf（x，y） dy（D） 01dyy2yf（x，y）dx8 如果级数 bn 都发散，则（ ）（A） （a n 一 bn）必发散（B） anbn 必发散（
4、C） （a n+|bn|）必发散（D） （|a n|+|bn|）必发散9 设 un=（一 1） nln（1+ ），则（ ）10 具有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=0二、填空题11 设 =8，则 a=_。12 设函数 则 f（x）=_。13 设 y= y（x ）是由方程 确定的隐函数，则 y“=_。14 函数 y=x2x 在区间（0，1上的最小值为_。15 16 曲线 y= ，直线 x=2 及 x
5、轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为_。17 设 f（x，y，z ）=e x+y2z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz =0 所确定的隐函数，则 fx（0，1，1）=_。18 设函数 f（u， ）具有二阶连续偏导数 z=f（x， xy），则 =_。19 级数 的和为_。20 微分方程 xy+y=0 满足条件 y（1）=1 的特解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 证明：（）对任意正整数 n，都有 成立；（）设an=1+ ln n，（n=1 ，2，），证明a n收敛。22 设 a1， f（t）=a tat 在（一 ，+ ）内的驻
6、点为 t（a ）。问 a 为何值时，t（a）最小？并求出最小值。23 设 f（x）在（1，1）内具有二阶连续导数且 f“（x）0。证明：（）对于任意的 x（ 1，0）（0，1），存在唯一的 （x） （0，1），使 f（x）=f （0）+xf（x） x）成立；24 设 y=f（x）是区间0， 1上的任一非负连续函数。（ ）试证存在 x0（0，1），使得在区间0，x 0上以 f（x 0）为高的矩形面积，等于在区间x 0，1上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。（）又设 f（x）在区间（0，1）内可导，且 f（x）一，证明（）中的 x0 是唯一的。25 证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x
7、 0，y 0）处可微，则 fx（x 0，y 0）与 fy（x 0，y 0）都存在，且 dz|（x0，y0） =fx（x 0，y 0）x+f y（x 0，y 0）y。26 求 f（x，y）=xe 的极值。27 求二重积分 ，其中 D 是由曲线 r=2（1+cos）的上半部分与极轴所围成的区域。28 求幂级数 的收敛区间。29 用变量代换 x=cost（0 t ）化简微分方程（1 一 x2）y“一 xy+y=0，并求其满足 y|x=0=1，y| x=0=2 的特解。考研数学三（微积分）模拟试卷 145 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试
8、题解析】 由函数连续的定义可知，所以，f（x）在 x=1 处连续，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2|x|在 x=0 处的最高阶导数的存在性。事实上，由 f（x）= 可看出 f（x）在 x=0 处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f（x）在闭区间a，b上有定义，而 A、C 、D 三项均要求f（x）在 a， b上连续，故三个选项均不一定正确，故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f（x）与 f“（x）均在
9、 x=0 两侧附近变号，即 x=0 是 f（x）的极值点，（0，0）也是曲线 y=f（x）的拐点，故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 是该积分可能的两个瑕点，有【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 先分别求出 ，再进一步比较结果。可见有，因此正确选项为 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y =2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 an 发散，则 an 发散，而|a n|an|+|bn|，故 （|a n|+|bn|）
10、必发散，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 是一个交错级数，而 单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数 un 收敛。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 2=3ex 是所求方程的三个特解知，r=-1，一1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r-1)(r+1)2=0，即 r3+r2 一 r 一 1=0，对应的微分方程为 y“+y“-y一 y=0，故选 B。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 =e3a=8，所以 a=ln2。【知识模块】
11、微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 在方程两边对 x 求导得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由于 y=e2xlnx） = x 2x2（lnx +1） = 所以 x 在上取得最小值，最小值为 y= 。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 0【试题解析】 令 In=exsinnxdx=exsinnx+nexcosnxdx=exsinnxnexcosnx n2In。所以【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 由体积公式 V=12（x 2 一 1）dx=【知识模块】 微积分17 【正确答案】
12、1【试题解析】 已知 f（x，y，z）=e x+ y2z，那么有 fx（x，y，z ）=e x+ y2zx。在等式 x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0。 由 x=0，y=1 ，z=1，可得 zx=0。 故 fx（0，1，1）=e 0=1。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 xf 12“+f2+xyf22“【试题解析】 由题干可知， =f1+f2y， =xf12+f2+xyf22“。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由 两边积分，得 ln |y|=一 ln |x|+C，代入条件
13、y（1）=1，得 C=0。所以 y=【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 （）令 =x，则原不等式可化为 ln（l +x）x，x0。先证明 ln（1+x）x，x 0。令 f（x）=x ln（1+x）。由于 f（x）=10，x0，可知 f（x）在0，+ ）上单调递增。又由于 f（0）=0，因此当x0 时，f（x）f （0）=0 。也即 ln（1+x）x，x0。再证明 ln （1+x ），x0。令 g（x）=ln（1+x） 。由于 可知 g（x）在0，+）上单调递增。又因 g（0）=0，因此当 x0 时，g（x）g（0）=0 。即 ln （1+x
14、 ），x0。因此，有 ln （1+x ）x，x0。再代入 =x，即可得到所需证明的不等式。（）a n+1 an=可知数列a n单调递减。又由不等式 因此数列a n是有界的。由单调有界收敛定理可知数列a n收敛。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 f（t）=a tlna a=0，解得 f（t）的驻点为 t（a ）=1 。对 t（a）关于 a 求导，可得令 t（a）0，解得ae e。则当 ae e 时，t（ a）单调递增；当 1ae e 时，t （a）单调递减。所以当a=ee 时，t（a）最小，且最小值为 t（e e）=1 一 。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）由拉格朗日中值定
15、理，对任意 x（1，1），x0，存在（0，1）使 f（x）=f（0）+xf（x），（ 与 x 有关）。又由 f“（x）连续且f“（x）0 ，故 f“（x）在（1，1）不变号，所以 f（x）在（1，1）严格单调， 唯一。（）由（）中的式子，则有由上式可得 的表达式，并令 x0 取极限得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 （）本题可转化为证明 x0f（x 0）= x01f（x）dx。令 （x）=一xx1f（t）dt，则 （x）在闭区间0，1上是连续的，在开区间（ 0，1）上是可导的，又因为 （0） =（1）=0 ，根据罗尔定理可知，存在 x0（0，1），使得 （x 0）=0，即 （x 0）=x
16、 0 f（x 0）一 x01f（t）dt=0，即 x 0f（x 0）= x01f（x）dx。（）令 F（x）= xf （x）一 x1f（t ）dt ，且由 f（x） 有 F（x）=f（x）+f（x）+ f（x） =f（x） +xf（x）0，即 F（x）在（0，1）内是严格单调递增的，从而F（x）=0 的点 x=x0 一定唯一，因此（ ）中的点是唯一的。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，则等式成立。令 Ay =0，于是 令x0，有=B，于是证明了 fx（x 0，y 0）与 fx（x 0，y 0）存在，并且 =fx（x 0，y 0）x+f y
17、（x 0，y 0）y。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 先求函数 f（x，y）=xe 的驻点，f x（x，y）=ex=0，f y（x，y）=y=0，解得函数 f（x，y）的驻点为（e，0）。又A=fxx“（e，0）=一 1，B=f xy“（e ，0）=0，C=f yy“（e ，0）= 1，所以 B2AC0，A0。故 f（x，y）在点（e，0）处取得极大值， f（e ，0）= e2。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 积分区域 D 如图 1418，D 的极坐标表示是：0，0r2（1+cos ），因此【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以 x（一1，1）为级数的收敛区间。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 代入原方程，得+y=0。解此微分方程，得 y=C1 Cost+C2sint=C1x+C2 ，将y|x=0=1，y| x=0=2 代入，得 C1=2，C 2=1。故满足条件的特解为 y=2x+ 。【知识模块】 微积分
