1、考研数学三（微积分）模拟试卷 147 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）=xsinx（ ）（A）当 x时为无穷大（B）在（一，+）内有界（C）在（一，+）内无界（D）当 x时极限存在2 设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x ）=af（x），且有 f（0）=b，其中a，b 为非零常数，则（ ）（A）f（x）在 x=1 处不可导（B） f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=a（C） f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=b（D）f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=ab3 设在0 ，1上 f“（x）0，则 f（0
2、），f（1），f（1） f（0）或 f（0） f（1）的大小顺序是（ ）（A）f（1） f（0）f（1）一 f（0）（B） f（1）f （1）一 f（0）f （0）（C） f（1）一 f（0） f（1）f（0）（D）f（1） f（0）f（1）f（0）4 设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f（x） 2=x，且 f（0）=0，则（ ）（A）f（0）是 f（x）的极大值（B） f（0）是 f（x）的极小值（C）（ 0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）f（0）不是 f（x）的极值，（ 0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点5 曲线 y=x（ x1）（2x）与 x 轴所围成的图形面积可
3、表示为（ ）（A）一 02x（x 一 1）（2 一 x）dx（B） 01x（x 一 1）（2 x）dx 一 12x（x 一 1）（2x）dx（C）一 01x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 12x（x 一 1）（2 一 x）dx（D） 02x（x 一 1）（2 一 x）dx6 设可微函数 f（x，y）在点（x 0，y 0）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（A）f（x 0，y 在 y=y0 处的导数大于零（B） f（x 0，y）在 y=y0 处的导数等于零（C） f（x 0，y）在 y=y0 处的导数小于零（D）f（x 0，y）在 y=y0 处的导数不存在7 交换积分次序 1edx0lnx
4、f（x，y）dy 为（ ）（A） 0edy0lnx（x，y） dx（B） eyedy01f（x，y）dx（C） 0lnxdy1ef（x，y） dx（D） 01dyeyef（x，y）dx8 设 an0（n=1，2，），且 an 收敛，常数 ，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关9 函数 y=C1ex+C2e2x+xex 满足的一个微分方程是（ ）（A）y“一 y一 2y=3xex（B） y“一 y一 2y=3ex（C） y“+y一 2y=3xex（D）y“+y一 2y=3ex二、填空题10 11 设函数 y= f（x）由方程 yx=ex（1y） 确定，则 =_。12
5、设 y= y（x ）是由方程 xy+ey= x+1 确定的隐函数，则 |x=0=_。13 设 f（x）=3x 2+ Ax3（x0），A 为正常数，则 A 至少为_时，有f（x） 20（x0）。14 15 设二元函数 z= xex+y+（x+1）ln（1+y），则 dz|（1，0） =_。16 交换积分次序 10dy21yf（x，y）dx=_。17 若数列a n收敛，则级数 （a n+1an）_。18 将函数 展成 x 的幂级数为_。19 三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设函数 f（x）在 x=
6、1 的某邻域内连续，且有21 设函数 f（x）在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f（0）f（0）0，当h0 时，若 a（h）+bf（2h） f（0）=a（h），试求 a，b 的值。22 设某商品的需求函数为 Q= 100 5P，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。（）求需求量对价格的弹性 Ed（E d0）；（）推导 = Q（1 E d）（其中R 为收益），并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。23 24 设 f（x），g（x）在a ，b上连续，且满足 abf（t ）dt axg（t）dt ，x a，b），abf（t）dt = abg（t）dt。 证明
7、abxf（x）dx abxg（x）dx。25 设 y=y（x ），z=z （x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求26 已知 = 2x +y+1， =x+2y+3，u（0，0）=1 ，求 u（x，y）及 u（x，y）的极值，并问此极值是极大值还是极小值？说明理由。27 计算28 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n2 一 n（n 一 1）a n=0（n2）。S （x）是幂级数 anxn 的和函数。（ ）证明：S“ （x）一 S（x）=0；（）求 S（x）的表达式。29 设函数 y=y（x
8、）在（一，+）内具有二阶导数，且 y0，x=x（y）是y=y（x ）的反函数。（ ）试将 x=x（y）所满足的微分方程=0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y （0）= 的特解。考研数学三（微积分）模拟试卷 147 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 xn= 2n+ ，y n= 2n+ ，则 f（x n）=2n+ ，f（y n）=0。因为f（x n）=+， f（y n）=0，所以 f（x）在（一 ，+）内无界，且当 x时不一定为无穷大，故选 C。【知识模块】 微积分2
9、 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，令 x=0，则 f（1）=af（0）。由导数的定义【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f“（x）0，x 0，1，所以函数 f（x）在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f（1）一 f（ 0）=f （）， （0，1）。于是有f（0）f （）f （1），即f（0）f（ 1） f（0） f（1）。故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f“（x ）=x 一f（x） 2，该等式右边可导，故 f“（x）可导。在题设等式两端对 x 求导，得 f“（x）+2f（x）f“ （x）=1。令 x=0 可得 f
10、“（0）=1。又 f“（0）=0，由拐点的充分条件可知，（0， f（0）是曲线 y=f（x）的拐点。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上， S= 02|y|dx=02|x（x 一 1）（2 一 x）|dx = 01|x（x1）（2 一 x）|dx+12|x（x 一 1）（2 一 x）|dx = a2x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 12x（x 一 1）（2一 x）dx。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题
11、解析】 因可微函数 f（x，y）在点（x 0，y 0）取得极小值，故有fx（x 0，y 0）=0，f y（x 0，y 0）=0。又由 fx（x 0，y 0）= f（x 0，y）| y0 ，可知 B 正确。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 1edx0lnxf（x，y）dy= 01dyeyef（x，y）dx 。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较法。因为而由正项级数 an 收敛可知，a2n 收敛，再由比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选 A。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 根据所给解的形式，可知原微分方程对应的
12、齐次微分方程的特征根为 1=1， 2=一 2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2+ 一 2=0， 故对应的齐次微分方程为 y“+y-2y=0。 又因为 y*=xex 为原微分方程的一个特解，而 h=1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Cex(C 为常数)。 比较四个选项，应选 D。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y1=ex（1y） （1y xy），将 x=0，y=1
13、 代入上式，可得 y（0）=1 。所以【知识模块】 微积分12 【正确答案】 3【试题解析】 在方程 xy+ey=x+1 两边对 x 求导，有 y+xy+yey=1，得对 y+xy+yey=1 再次求导，可得 2y+ xy“+y“ey+（y ） 2ey=0，得当 x=0 时，y=0 ，y（0）=1，代入（*）得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 64【试题解析】 要使 f（x）20，只需 3x5+A20x3，即 20x33x5A（x0）。 设g（x）=20x 3 3x5，则 A 至少是 g（x）在（0，+）内的最大值。 由于 g （x）= 60x215x4= 15x2（4 一 x2）所以
14、x=2 是 g（x）在（0，+）的最大值点，故 A 至少为 g（2）=64。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 2edx+（e+2 ）dy【试题解析】 由已知 =ex+y + xex+y+ln（1+y）， 因此 dz|（1， 0） = 2edx+（e+2）dy。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 12dx01xf（x，y）dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D（如图 1411）：1y0，1yx2 。则有 10dy1y2f（x，y）dx = f（x，y）dxdy。交换积分次序 10dy21yf（x，y）dx=一
15、10dy1y2f（x，y）dx=一 12dx1x0f（x，y）dy=12dx01xf（x，y）dy。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 收敛【试题解析】 由题干知，级数 （a n+1 一 an）的部分和数列为 Sn=（a 2 一 a1）+（a 3 一 a2）+（a n+1 一 an） =a n+1 一 a1，因为数列 an收敛，所以S n收敛。因此，级数 （a n+1 一 an）收敛。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 ，x（一 2，2）【试题解析】 对已知函数从 0 到 x 求积分，有【知识模块】 微积分19 【正确答案】 C 1e2x+C2cosx+C3sinx，C 1，C 2，C
16、 3 为任意常数【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 3 一 22+ 一 2=0。解上述方程可得其特征值为 2，i，于是其中一组特解为 e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx C1，C 2，C 3 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由已知条件得 f（x+1 ）+1+3sin 2x=0，因此有 f（x+1）+3sin2x=f（1）+0 =0，故 f（1）=0 。又因为在 x=0 的某空心邻域内 f（x+1）+3sin2x0，现利用等价无穷小替换：当 x0 时，ln1+f（x +1）+3
17、sin2xf （x+1）+3sin 2x，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由题设条件知 af（h）+bf（2h）一 f（0）=（a+b1）f（0）。由于 f（ 0）0，故必有 a+b1=0。又由洛必达法则因f（0）0 ，则有 a+2b=0。综上，得 a=2，b= 1。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 又令Ed= =1，得 P=10。当 10P20 时，E d1，于是 0，故当 10P 20时，降低价格反而使收益增加。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 F（x ）=f （x）g（x），G（x）= axF（t ）dt，由题设 G（x）0
18、，x a，b ），且 G（a）=G（b）=0 ，G（x） =F（x）。 从而 abxF（x）dx=abxdG（x）=xG（x）| ab 一 abGcx）dx= abG（x）dx，由于 G（x）0，xa，b ），故有一 abG（x）dx0，即 abxF（x）dx0。 因此 abxf（x）dxabxg（x） dx。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 分别在 z= xf（x+y）和 F（x，y， z）=0 的两端对 x 求导，得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 = 2x +y+1，有 u（x，y）=x 2+xy+x+（y），再结合=x+2y+3，有 x+（y） =x+2y+3，得 （y
19、）=2y +3，（y）=y 2+3y+C。于是 u（x，y）=x 2+xy+x+y2+3y+C。又由 u（0，0）=1 得 C=1，因此 u（x，y）=x2+xy+y2+x+3y +1。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）证明：由题意得 S（x）= nanxn1，S“ （x）= n（n 一1）a nxn2= （n+1）（n+2）a n+2xn，因为由已知条件得 an=（n+1）（n+2）an+2（n=0，1，2，），所以 S“（x）=S （x），即 S“（x）一 S（x）=0。（）S“（ x）一 S（x）=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征
20、方程为 2 一 1=0，从而 A=1，于是 S（x）=C 1ex+C2ex，由 S（0）=a 0=3，S（0）=a 1=1，得解得 C1=1，C 2=2，所以 S（x）=e x+2ex。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）由反函数的求导公式知 ，于是有代入原微分方程得 y“一y=sinx。（ ）方程（*）所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2 ex。设方程（*）的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入方程（ *），求得 A=0，B= ，故 y*=，因此 y“一 y=sinx 的通解是 y=y+y*=C1ex+C2ex sinx。由 y（0）=0，y（0）= ，得 C1=1，C 2=一 1。故所求初值问题的特解为 y=exex 一sinx。【知识模块】 微积分
