1、考研数学三（微积分）模拟试卷 151 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 un(1) nln(1 )，则( )2 函数 zf(x，y)在点(x 0，y 0)可偏导是函数 zf(x，y)在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小4 设 f(x) 01cosx sint2dt，g(x) ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等
2、价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小二、填空题5 设 f(x)sinx，f(x) 1x 2，则 (x)_，定义域为 _6 若 (cosxb)5，则 a_，b_7 设 yx arctanx _8 _9 (xx 2y)dxdy_10 微分方程(2x3)y4y的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 设 f(x)二阶连续可导，f(0)4， 0，求极限 13 设 f(x) 是连续函数，求仅 a，b 的值14 (1)由方程 sinxyln(y x)x 确定函数 yy(x)，求 (2)设函数 yy(x)由2xyxy 确定，求 dy x0 (3)设 yy(x) 由 ln(x2
3、y)x 3ysinx 确定，求 (4)设由 ey x(yx)1x 确定 yy(x)，求 y(0)(5) 设 yy(x)由x 1x yet2 dt0 确定，求 15 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得16 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得 f()f() f(2) 2f(1)17 求 18 求(arccosx) 2dx19 求 20 求曲线 ycosx 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积21 讨论 f(x， y) 在点(0 ，0)处的连续性、可偏导性及可微性2
4、2 改变积分次序 0adx f(x，y)dy23 计算 (x2y 2)dxdy，其中 D(x，y)x 2y 24x，0yx)24 求幂级数 的收敛域25 求微分方程 cosy cosxsin 2ysiny 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 151 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法， 发散，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 如 f(x，y) ，在点(0 ，0)处可偏导，但不连续；又如 f(x，y)在(0 ，0)处连续，但对 x 不可偏导选(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答
5、案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即ydy( x)，所以ydy是x 的高阶无穷小，选(A)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 所以 f(x)是 g(x)的高阶无穷小，选 (B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 (x) arcsin(1x 2)， 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 1，4【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 (xx 2y)dxdy xdxdy4 xdxdy其中D1(x，
6、y)0x1 ，0y1x)，而 xdxdy 01xdx01x dy 01x(1x)dx，因此 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 y C1x36C 1x29C 1xC 2【试题解析】 令 yp ，则 dx，两边积分得 lnpln(2x3) 2xlnC 1，或yC 1(2x3) 2，于是 y C1x36C 1x29C 1xC 2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因为 0，所以 f(0)0，f(0)0，又 f(x)二阶连续可导且f(0)4，所以 f(x)2x 2(x 2)，所以 e 2【知识模块】 微
7、积分13 【正确答案】 f(x) ，因为 f(x)是连续函数，所以 f(10)1f(1)(ab1)f(10)ab，f(1 0)ab f(1) (ab1)f(1 0)1，解得 a 0，b1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)将 x0 代入 sinxyln(yx) x 得 y1，对 sinxyln(y x)x 两边关于求导得 cosxy(y 1，将 x0，y1 代入得 1(2)当 x0 时，y1，对 2xyxy 两边关于 x 求导，得 2xyln2(y ，将x0，y1 代入得 ln21，故 dy x0 (ln21)dx(3)x0 代入 ln(x2y)x 3ysinx 得 y1，对 ln(
8、x2y)x 3ysinx 两边关于 x 求导，得3x 2yx 3ycosx ，将 x0，y1 代入得 1(4)x0 时，y0对eyx(yx)1x 两边关于 x 求导得e y yyxx(y1)1，将 x0，y0代入得 y(0)1；对e y yyxx(y1)1 两边关于 x 求导，得 ey (y)2e y y2(y1)xy 0，将 x0,y0,y(0) 1 代入，得 y(0)3(5)x0 时，y1对 x 1xy et2 dt0 两边关于 x 求导得 1 0，将x0，y1，代入得 e1【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)f(x)g(b)f(a)g(x)f(x)g(x)，则 F(x)在
9、a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)F(b)f(a)f(b) ，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()0，而 F(x)f(x)g(b) f(a)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) ，所以【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)(2)f(2)f(1) ，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()0，而 ，故 f()f()f(2)2f(1)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 V x cosx2x
10、dx2 cos2xdx2 取x，xdx，则 dVy2xcosxdx ，故 Vy【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因为 0 0，所以 f(x，y)0f(0，0)，即函数 f(x，y)在点(0 ，0) 处连续因为 ，所以 fx(0，0)0，根据对称性得 fy(0，0)0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导 zf x(0，0)xf y(0，0)yf(x，y)f x(0，0)xf y(0，0)y ，因为 不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)不可微【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 D(x，y)a xy， 0ya)，所以 0adx f(x,y)dy 0ady f(x,y)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 ，0r4cos)，则 (x2y 2)dxdy d04cosr3dr64cos4d 16 (1c0s2) 2d8 (1cost) 2dt8 (12cost cos 2t)dt8 2(38)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 cosy cosxsin 2ysiny 得 cosxsin2ysiny，令 usiny,则 ucosxu 2，令 u1 z，则 z cosx，【知识模块】 微积分
