1、考研数学三（微积分）模拟试卷 152 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 an0(n1，2，)且 收敛，又 0k ，则级数 (1) n(ntan )a2n( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关2 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 yy 0 处导数为零（B） f(x0，y)在 yy 0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 yy 0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 yy 0 处导数不存在3 设函数 f(x) 则在点 x0 处 f(x)(
2、)（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续4 极限 ( )（A）等于 1（B）为 （C）不存在但不是（D）等于 0二、填空题5 设 a0，且 1，则 a_，b_ 6 设 x0 时，lncosax2x b(a0)，则 a_，b_7 设 f(x) ，则 f(n)(x)_8 _9 cosx2dx cosx2dx_10 yy 1y 2 满足初始条件 y(0)1，y(0)0 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 确定正数 a，b 的值，使得 14 (1)求 0x2xf(xt)dt(2)设 f(x) ，求 df(x) x1 (3) 设
3、 F(x) ，求F(x)15 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt( 1)f() 016 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得17 求 18 设 x一 1，求 1 x(1t)dt19 求 22(3x 1)max2，x 2dx20 求曲线 yx 22x 与直线 y0，x1，x3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V21 设 f(x，y) ，试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性22 改变积分次序 f(x,y)dx f(x，y)dx23 判别级数
4、 的敛散性，若收敛求其和24 求幂级数 的收敛域25 求微分方程 xy x 2y 2 满足初始条件 y(e)2e 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 152 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)0，f y(x0， y0)0， 于是 f(x0，y 0)在 yy 0 处导数为零，选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)0， f(x)(0)0 ，所以 f(x)
5、在 x0 处连续；，得 f(x)在 x0 处可导，且 f(0)0；当 x0 时，f(x)3x 2sin ；当x0 时，f(x)2x，因为 f(0) ，所以 f(x)在 x0 处导数连续，选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 1，4【试题解析】 由 1 得 b1，则 1，故 a4【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2，2【试题解析】 因为 ln(cosax)ln1(cosax1) cosax1 ，所以得到2，b 2，解得 a2，b 2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 ，解得 A3，B2，【知识模块】 微
6、积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得 cosx2dx 01dxx2xcosx2dy 01xcosx2dx【知识模块】 微积分10 【正确答案】 lny x【试题解析】 令 yp ，则 ，解得 ln(1p 2)lny 2lnC 1，则 1p 2C 1y2，由 y(0)1， y(0)0 得 y ，lny C 2x，由 y(0)1 得 C20，所以特解为 lny x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 显
7、然 b1，且 2，故 a1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)由 0x2xf(xt)dtx 0x2f(xt)dt xxxx2 f(u)(du)x xx 2xf(u)du 得 0x2xf(xt)dt xx 2xf(u)duxf(x)(12x)f(xx 2)(2)由 f(x) xe x 得 f(x)(x1)e x，从而 f(1)2e，故 df(x) x1 2edx (3) 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 (x)=xaxf(t)dt 0xf(t)dt 因为 (0)(1) 0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0 而 (x) 0xf(t)dt(x1)f(x)，故 0f(
8、t)dt( 1)f()0【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 F(x)lnx,F(x) 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2ln1 ，其中 (1，2)，f(2)f(1)f()(21)f()，其中 (1， 2)，故 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 2 2(3x 1)max2,x2dx 2 2max2,x2dx2 02max2,x2dx,【知识模块】 微积分20 【正确答案】 区域面积为 S 13f(x)dx 12(2xx 2)dx 23(x22x)dx(x 22；V y2 13xf(x)dx2( 12x(2xx 2)dx 23x(x22x)dx)2 9【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 f(x，y)0f(0 ，9)得 f(x，y)在点(0，0)处连续由0 得 fx(0，0)0， ，f(x，y)在(0，0)可偏导 即 f(x，y)在(0，0) 处可微【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 ，解得 u2lnx 2C，由 y(e)2e，得 C2，所求的通解为 y2x 2lnx22x 2 【知识模块】 微积分
