1、考研数学三（微积分）模拟试卷 155 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列结论正确的是( ) 2 设 M cos4xdx，N (sin3xcos 4x)dx，P (x2sin3xcos 4x)dx，则有( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N3 f(x)在，)内二阶可导，f(x) 0， 1，则 f(x)在(，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零4 设 yf(x)由 cos(xy)lnyx1 确定，则 ( )（A）2（B） 1（C） 1（D）2二、填空题5 _6 设
2、 f(x) 在 x0 处连续，则 a_7 设 f(x)连续，则 tf(xt)dt_8 曲线 yx 4ex2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为_9 _10 微分方程 2y“3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 求 (cotx)sin3x13 设 a11， an1 0，证明：数列a n)收敛，并求 an14 设 f(x) 01xy sin dy(0x1)，求 f(x)15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得16 证明：当 0x1，证明： 17 求 18 设 (x
3、) 0x(xt) 2f(t)dt，求 (x)，其中 f(x)为连续函数19 求 20 求圆 x2y 22y 内位于抛物线 yx 2 上方部分的面积21 设 z 0x2yf(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求 22 计算 23 判断级数 的敛散性24 求幂级数 nxn1 的和函数25 求微分方程 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 155 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 PMN，选(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 1，得 f(0
4、)0，f(0) 1，因为 f(x)o，所以 f(x)单调减少，在(， 0)内 f(z)f(0) 10，故 f(x)在(，0)内为单调增函数，再由f(0)0，在( ，0)内 f(x)f(0)0，选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 将 x0 代入得 y1，对 cos(xy)lnyx1 两边关于 x 求导得sin(xy) 10，将 x0，y1 代入得 1，即 f(0)1，于是2f(0)2，选(A) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 e 1【试题解析】 所以 ae 1 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 f(
5、x)【试题解析】 0xtf(xt)dt x0(xu)f(u)(du) 0x(xu)f(u)du x 0xf(u)du 0xuf(u)du,于是 0xtf(xt)dt 0xf(u)du，故 0xtf(xt)dtf(x)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 令 yp ，则 yp ，则原方程化为 2p 3y 2,解得p2y 3C 1，由 y(2)1，y(2)1，得 C10，所以 y ，从而有2 xC，再由 y(2)1，得 C20，所求特解为 x 【知识模块】 微积分三、解答题解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 先证明(a n)单调减少a 20，a 2a 1；设 an1 a k，a k ，由 ak1 a k 得 1a k1 1a k，从而 ，即 ak2 a k1 ，由归纳法得数列a n单调减少现证明 an 由极限存在准则，数列a n收敛，设 两边求极限得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)x 2，F(x)2x0(a x b)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得【知识模块
7、】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)(1 x)ln(1x) arcsinx，f(0)0，f(x)ln(1x)arcsinx0(0x1) ， 得当 0x1 时， f(x)0，故 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (x)x 20xf(t)dt2x 0xtf(t)dt 0xt2f(t)dt, (x)2x 0xf(t)dtx 2f(x)2 0xtf(t)dt2x 2f(x)x 2f(x) 2x 0xf(t)dt2 0xtf(t)dt (x)2 0xf(t)dt2xf(x)2xf(x)2 0xf(t)dt, (x)2f(x)【知识模块】 微积分19 【
8、正确答案】 1 0etdte 1 1e 1 12e 1 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 所围成的面积为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 2xyf(x 2y,ex2y)， 2xf(x 2y,ex2y)2xyx 2f1(x2y,ex2y)x 2ex2yf2(x2y,ex2y)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 D1(x，y)1x2， yx)，D2(x，y)2x4， y2)，D 1D 2D(x，y)1y2，yxy 2)，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为当 x0 时 sinxx，所以 0sin 收敛，根据比较审敛法，级数 收敛【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 uarctanu xC，所以原方程的通解为 yarctanu xC【知识模块】 微积分
