1、考研数学三（微积分）模拟试卷 156 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 都发散，则( )2 设 f(x) F(x) 0xf(t)dt(x0，2)，则( )3 若 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 1，则下列正确的是( )（A）x0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 yf(x)的拐点（C） x0 是 f(x)的极大值点（D）x0 是 f(x)的极小值点4 设 f(x) ，则 x0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点二、填空题5 _6 设 f(x)连续可导，f(0)0
2、 且 f(0)b，若 F(x) 在 x0 处连续，则A_7 曲线 y 的斜渐近线为_8 _9 f(x) ，D(x ，y)x ， y，则 f(y)f(xy)dxdy_10 微分方程 xy y 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 an 12 13 设 x12，x n1 ，求 xn14 设 f(x)连续，且对任意的 x，y ( ，)有 f(xy)f(x)f(y)2xy，f(0)1，求 f(x)15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 yf(x)交于点 C(c，f(c)(其中 ac b) 证明：
3、存在 (a，b)，使得f() 016 当 0x 时，证明： sinxx17 求 18 设 (x) abln(x2t)dt，求 (x)，其中 a0，b019 1 1(2sinx) dx20 设 L：ysinx(0x )，由 x0，L 及 ysinx 围成面积 S1(t)；由 ysint，L及 x 围成面积 S2(t)，其中 0t (1)t 取何值时，S(t)S 1(t)S 2(t)取最小值?(2)t 取何值时，S(t)S 1(t)S 2(t)取最大值?21 设函数 z z(x，y) 由方程 x2y 2z 2xyf(z 2)所确定，其中 f 是可微函数，计算并化成最简形式22 计算 01dyy1x
4、2ex2dx23 判断级数 的敛散性24 求幂级数 n(n1)x n 的和函数25 设 ye x 为微分方程 xyP(x)yx 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 156 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为 0u nu n，0v nu nv n，根据正项级数的比较审敛法知，【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 当 0x1 时，F(x) 0xt2dt ；当 1x2 时，F(x) 0xf(t)dt 01t2dt 1x(2t)dt ，选(B)【知识模块】
5、 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由 1 得 f(0)0，由 1 f(0)得 x0 为极小值点，选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x) ；当 x0 时，f(x) ；当 x0 时，f(x)x因为 f(00)1，f(0) ，f(00)0，所以 x0 为 f(x)的第一类间断点，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 a b【试题解析】 因为 F(x)在 x0 处连续，所以 Aab 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 yx3【试题解析】 则斜渐近线为 yx3【知识模块】 微积
6、分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 f(y)f(x y) 则 f(y)f(xy)dxdy 01ydyy1y (xy)dx 01y【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当 xy0 时，f(0)2f(0) ，于是 f(0)0对任意的x(，)， 则 f(x)x 2xC，因为 f(0)0，所以 C0，故 f(x)xx 2【知识模块
7、】 微积分15 【正确答案】 由微分中值定理，存在(a c)，(a ，b) ，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f(1)f( 2)，又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b) ，使得 f()0【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)xsinx，f(0) 0，f(x) 1cosx0(0x )，由得 f(x)0(0x )即当 0x 时，sinxx；令 g(x)sinx 0，由 g(x)sinx0(0x )得 g(x)在(0， )内为凸函数， 得 g(x)0(0 x xsinx，故当 0x xsinxx【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】
8、 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 S 1(t)tsint 0tsinxdxtsintcost1，S 2(t) sint，S(t)S 1(t)S 2(t)2(t )sint2cost1由 S(t)2(t ， (1)当 t 时，S(t)最小，且最小面积为 1；(2)当 t0 时，S(t)最大，且最大面积为 S(0)1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 x 2y 2z 2xyf(z 2)两边对 x 求偏导得 2x2z yf(z 2)2xyzf(z 2) ，解得 ；x 2y 2z 2xyf(z 2)两边对 y 求偏导得2y2z xf(z2)2xyzf(z 2) ，解得 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 改变积分次序得 01dyy1x2ex2dx 01dx0xx2ex2dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 把 ye x 代入微分方程 xyP(x)yx，得 P(x)xe x x，原方程化为 y(e x 1)y1，则 y ，将 y(ln2)0 代入 yCe xe x e x 中得 【知识模块】 微积分
