1、考研数学三（微积分）模拟试卷 157 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) 2 下列广义积分发散的是( )3 设 f(x)在 x0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f(x)在 x0 处可导的充分必要条件是( )4 设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f(0)存在，则 g(x) ( )（A）在 x0 处无极限（B） x0 为其可去间断点（C） x0 为其跳跃间断点（D）x0 为其第二类间断点二、填空题5 _6 设 f(x)连续，且 F(z) axf(t)dt，则 F(x)_7 曲线 yx 的斜渐近线为_8 设 z _ 9 计算
2、01dy0y2ycos(1x) 2dx_10 设二阶常系数非齐次线性微分方程 yy qyQ(x) 有特解y3e 4x x 23x2，则 Q(x)_，该微分方程的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 求 13 设 a11， a22，3a n2 4a n1 0，n1，2， ，求 an14 设 f(x) ，讨论函数 f(x)在 x0 处的可导性15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0， f()016 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 0
3、xf(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根17 求 18 设 f(x)连续，且 F(x) 0x(x2t)f(t)dt证明： (1)若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数； (2)若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减19 求 sin 2xcos2xdx20 设 f(x) 1 x(1 一t )dt(x1)，求曲线 yf(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积21 设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2x y)g(x，xy)，求 22 把二重积分 f(x，y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 )，其中 D由直线 xy1，x1，y1 围成23 判断级
4、数 的敛散性24 求幂级数 的和函数25 (1)设 f(x) ex 0x(x t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)(2)设 f(x)在(1，)内连续，且 f(x) 0xtf(t)dt1(x1)，求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 157 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x) 0，而 f(x)在 x0 处不可导，(A)不对； 即存在只能保证 f(x)在 x0 处右可导，故(B) 不对；因为
5、 ，所以 htanh h3，于是 存在不能保证 f(x)在 x0 处可导，故(D) 不对； f(0)，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0)存在，所以 f(x)在 x0 处连续，又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)0，显然 x0 为 g(x)的间断点，因为 f(0)，所以 x0 为 g(x)的可去间断点，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 a 2f(a)【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 yx【试题解析】 斜渐近线为 yx【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题
6、解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 01dy0y2ycos(1x 2)dx 01cos(1x) 2dx ydy 01(1x)cos(1x) 2dx 01cos(1x) 2d(1x) 2 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 yC 1e4x C 2e3xx 23x2(其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 4 是特征方程 2q0 的解，故 q12， 即特征方程为 2120，特征值为 14， 23 因为 x23x2 为特征方程yy12yQ(x)的一个特解， 所以 Q(x)22x312(x 23x2)12x 234x19， 且通解为 yC 1e4x C 2e3x
7、x 23x2(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 3an 24a n1 a n0，得 3(an2 a n1 )a n1 a n(n1，2)令 bna n1 an，则 bna b n13(n1，2，)，由 b11，得bn (n1，2，) ，即【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 0f(x) f(x)在 x0 处连续由 得 f (0)1，再由 得 f (0)0，因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x0 处不可导【
8、知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)f(b)，所以存在 c(a,b)，使得 f(c)f(a)f(b) ，不妨设 f(c)f(a)f(b)，由微分中值定理，存在 (a，c) ，(c， b)，使得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)2x 0xf(t)dt1，(0) 1，(1)1 01f(t)dt， 因为f(x)1，所以 01f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得(c)0 因为 (x)2f(x) 0，所以 (x)在0，1 上单调增加，故方程2x 0xf(t)dt1 有且仅有一个根【知识模块】 微积分
9、17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)设 f( x)f(x)，因为 F(x) 0x (x2t)f(t)dt 0x(x 2u)f( x)(du) 0x(x2u)f(u)du F(x)，所以 F(x)为偶函数F(x) 0x (x2t)f(t)dt 0xf(t)dt2 0xtf(t)dt,F(x) 0xf(t)xf(t)xf() f(x)，其中 介于 0 与 x 之间，当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0，当 x0 时，0x，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0，从而 F(x)单调不减【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分
10、20 【正确答案】 当1x0 时，f(x) 1 x(1t)dt 1 x(t1)dt 当 x0时 f(x) 1 0(t1)dt 0x(1t)dt ，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 2f(2x y) g 1(x，xy)yg 2(x，xy)， 2f(2xy)xg 12(x，xy)g 2(x，xy)xyg 22(x，xy)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)由 f(x)e x 0x(xt)f(t)dt ，得 f(x)e xx 0xf(t)dt 0xtf(t)dt，两边对 x 求导，得 f(x)e x 0xf(t)dt，两边再对 x 求导得 f(x)f(x)e x，其通解为f(x)C 1cosxC 2sinx 在 f(x)e x 0x(xt)f(t)dt 中，令 x0 得 f(0)1，在f(x)e x 0xf(t)dt 中，令 f(0)1，于是有 (2)由 f(x) 0xtf(t)dt1 得(x1)f(x) 0xtf(t)dtx1，两边求导得 f(x)(x1)f(x)xf(x)1，整理得 f(x)(1 ，解得【知识模块】 微积分
