1、考研数学三（微积分）模拟试卷 165 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1e x，y 22xe x，y 33e x ，则该微分方程为( )（A）yyyy0（B） yyy y0（C） y2yy 2y0（D）y2yy2y02 设 D：x 2y 216，则 x 2y 24dxdy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）603 设 f(x)在 x0 的邻域内有定义，f(0) 1，且 0，则 f(x)在 x0 处( )（A）可导，且 f(0)0（B）可导，且 f(0)1（C）可导，且 f(0)2（D）不可导 4
2、 设 f(x)在0，)上连续，在(0，)内可导，则( )二、填空题5 _6 设函数 yy(x) 由 e2xy cosxye1 确定，则曲线 yy(x) 在 x0 处的法线方程为_7 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x) 0xf(t)dtbx 如也是以 T 为周期的连续函数，则 b_8 设 zf(x 2y 2z 2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 _9 幂级数 的收敛半径为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 求 13 设 f(x) ，x ，1)，试补充定义使得 f(x)在 ，1上连续14 设 f(x) 处处可导，确定常数 a，b，并求 f
3、(x)15 设 PQ 为抛物线 y 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值16 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0) 02f(t)dtf(2) f(3) 证明：(1)存在 1， 2(0，3)，使得 f(1)f( 2)0 (2)存在 (0，3) ，使得 f()2f()017 求xtanxsex 4xdx18 设 f(x)x 01f(x)dx，求 01f(x)dx19 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxf(abx)dx20 设曲线 1(0a 4)与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕 y 轴旋
4、转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)V 2(a)最大，并求最大值21 设“uf(x，y，z)有连续的偏导数，yy(x)，z z(x)分别由方程 exyy0 与ez xz0 确定，求 22 计算 dxdy(a0)，其中 D 是由曲线 ya 和直线 yx 所围成的区域23 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?24 将 f(x) 展开成 x2 的幂级数25 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1e 2x，y 22e x 3e 2x 为特解，求该微分方程考研数学三（微积分）模拟试卷 165 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
5、【正确答案】 A【试题解析】 由 y1e x， y22xe x，y 33e x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 21， 31，其特征方程为(1) 2(1)0，即3 210，所求的微分方程为 yyy 0，选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 x 2y 24dxdy 02d04r 24rdr2 04r 24rdr2 02(4r 2)rdr 24(r24)rdr80 ，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x) ，(A) 不对；取 f(x)cosx，显然 10，(B)不
6、对；取 f(x)x，显然 1，(C) 不对，选(D)事实上，取 0，因为f(x)A，所以存在 x0，当 xX 时，f(x)A ，从而 f(x) 当 xX 时，f(x)f(X) f()(xX) (xX)(Xx) ，从而 f(x)f(X) (xX) ，两边取极限得 f(x)，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，y1对 e2xy cosxye 1 两边关于 x 求导得e2xy (2 )sin(xy)(y x )0，将 x0， y1 代入得 2故所求法线方程为 y1 (x0)，即 y x1【知识模块】
7、微积分7 【正确答案】 0Tf(t)dt【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 z f(x 2y 2z 2，xyz)两边对 x 求偏导得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 因为当 x0 时，e x21x 2，xln(12x)2x 2，【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 所以令 f(1) ，则 f(x)在 上连续【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(x)在 x0 处连续，得
8、 b0 由 f(x)在 x0 处可导，得a2，所以 f(x)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 P(a， )，因为 y 关于 y 轴对称，不妨设 a0y(a) ，过 P 点的法线方程为 y (xa)，设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以 (ba)，解得 ba PQ 的长度的平方为 L(a)(ba)2 (b2a 2)24a 2(1 )3，由 L(a)8a(1 0 得 a 为唯一驻点，从而为最小点，故 PQ 的最小距离为 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)令 F(x) 0xf(t)dt，F(x)f(x)， 02f(t)dtF(2)F(0) F(c)(2 0)2f(c)，其
9、中 0c2因为 f(x)在2 ，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值m 和最大值 M，m M，由介值定理，存在 x02，3 ，使得 f(x0) ，即f(2)f(3)2f(x 0)，于是 f(0)f(c) f(x 0)，由罗尔定理，存在 1(0，c)*2013(0，3)， 2(c，x 0) (0，3) ，使得 f(1)f( 2)0 (2)令 (x)e 2x f(x)，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (0， 3)，使得 ()0，而 (x)e 2x f(x) 2f(x)且 e2x 0，故 f()2f()0【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【
10、正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 abf(x)dx baf(abt)(dt) abf(abt)dt abf(abx)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 曲线与 x 轴和 Y 轴的交点坐标分别为 (a，0)，(0，b)，其中b4a曲线可化为 y ，对任意的x，x dx 0，a，dV22x 于是 V2 20ax ，根据对称性，有 V1 ab2于是 V(a)V 1(a)V 2(a) (4 a)令 Va a2，又 V(2)0，所以 a2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 ，方程 exyy0 两边对 x 求导得 方程 ezxz0 两边对x 求导得 ，则【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 y1e 2x，y 22e x 3e 2x 为特解，所以 e2x,ex 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 11， 22，特征方程为( 1)( 2)0即 220，所求的微分方程为 yy 2y0【知识模块】 微积分
