1、考研数学三（微积分）模拟试卷 168 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 yy6y(x1)e 2x 的特解形式为( )（A）(axb)e 2x（B） ax2e2x（C） (ax2bx)e 2x（D）x 2(axb)e 2x2 设 x2y 22ay(a0)，则 f(x，y)dxdy 在极坐标下的累次积分为 ( )（A） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（B） 0d02asinf(rcos， rsin)rdr（C） d02acosf(rcos，rsin)rdr（D） d02asinf(rcos，rsin)rdr3 设 f(x) ，其
2、中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导4 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(，0)内单调减少（C）对任意的 x(，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题5 _6 设 f(x)为偶函数，且 f(1)2，则 _7 _8 设 yy(x)由 x 1xy e t2 确定，则 _9 微分方程 yytanx cosx 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 13
3、 (1)设 f(x) xag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性(2)讨论 f(x)在 x0 处的可导性(3)设 f(x) 讨论 f(x)在 x0 处的可导性14 设 et2dt 0xcos(xt) 2dt 确定 y 为 x 的函数，求 15 证明：当 0x1 时，e 2x 16 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 01f(t)dt0。证明：存在 (0，1)，使得 f() 0f(t)dt17 求 18 设 f(x)f(x )sinx，且当 x0， 时，f(x) x，求 3f(x)dx19 设 f(x)连续，证明： 0x0tf(u)dudt 0xf(t)(xt)d
4、t 20 设 ux yz，求 du21 设 F 0 且 F 可微，证明： z xy22 计算 xy(xy)d，其中 D 是由 x2y 21 及 y0，y1 围成的平面区域23 设 an 为发散的正项级数，令 Sna 1a 2 a n(n1,2,)证明： 收敛24 设有幂级数 (1)求该幂级数的收敛域；(2)证明此幂级数满足微分方程y y 1； (3)求此幂级数的和函数25 求微分方程 y4y4ye ax 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 168 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 12， 2
5、3，而2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(axb)e 2x ，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 令 其中 0，0r2asin ，则 f(x，y)dxdy 0d02asinf(rcos，rsin)rdr，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(00) 0，f(0) f(0 0) x2g(x)0，所以 f(x)在x0 处连续； 因为 f (0)f (0)0，所以 f(x)在 x0 处可导，应选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0) 0，所以由极限的保号性，存在 0，当0x 时， 0，当
6、x(，0)时，f(x)f(0)；当 x(0，)时，f(x)f(0)，选(D) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 因为 sinxx (x 3)，所以 (1x 2)sinxx 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)2，【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 e 1【试题解析】 当 x0 时，y1，x 1xy et2 dt 0 两边对 x 求导，得 1e (xy)2(1 ) 0，将 x0，y1 代入得 e 1【知识模块】 微积分9 【正确答案】
7、y(xC)cosx【试题解析】 通解为 ycosxe tanxdxdxCe tanxdx (xC)cosx【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 f(x)arctanx，由微分中值定理得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 g(a)得 f (a)g(a)；由 g(a)得 f (a)g(a)，当 g(a)0 时，由 f (a)f (a)0 得 f(x)在 xa 处可导且 f(a)0，当 g(a)0 时，由 f (a)f (a)得 f(x)在 xa 处不可导(
8、2) 因为 f(0)，所以 f(x)在 x0 处连续 则 f(0) ，即 f(x)在 x0 处可导(3)f(0)f(0 0)0，f(00)0，由 f(00)f(00)f(0)得 f(x)在 x0 处连续；由 得 f (0)0，得 f 0，因为 f (0)f (0)0，所以 f(x)在 x0 处可导【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0xcos(x t)2dt x0cosu2(du) 0xcost2dt,等式1y x2et2dt 0xcost2 两边对 x 求导，得 cosx 2,于是 cosx2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 e 2x 等价于2xln(1x)ln(1x)，令 f(x
9、)ln(1x)ln(1x) 2x，则 f(0)0，f(x) 0(0x 1)，由 得 f(x)0(0x1)，故当 0x1 时， 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)e x 0xf(t)dt， 因为 (0) (1)0，所以存在 (0，1)，使得 ()0， 而 (x) ex f(x) 0xf(t)dt且 ex 0，故 f() 0f(t)dt【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 3f(x)dx 3f(x) sinxdx 3f(x)dx 3sinxdx 02f(x)dx 0xdx 2f(x)dx 2f(x)sinxdx 2f(x)dx 2sinxd
10、x 0xdx2 22【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 F(x) 0xf(t)dt，则 F(x)f(x)，于是 0x0tf(u)dudt 0xF(t)dt， 0xf(t)(xt)dtx 0xf(t)dt 0xtf(t)dtxF(x) 0xtdF(t) xF(x) tF(t) 0x 0xF(t)dt 0xF(t)dt 命题得证【知识模块】 微积分20 【正确答案】 ，由 ue yzlnx 得e yzlnxzy z1 lnx zyzlnx， e yzlnxy zlnxlnyuy zlnxlny，故 duuy z(lnxdylnxlnydz) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模
11、块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)因为 0，所以收敛半径为 R，故幂级数的收敛域为(一， ) 故该幂级数满足微分方程 yy1(3)由 f(x)f(x) 1 得f(x)C 1ex C 2ex1，再由 f(0)2，f(0)0 得 C1 ，所以 f(x)chx1【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 24 40，特征值为 1 22，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y(C 1C 2x)e2x (1)当 a2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)Ae ax，代入原方程得 A ，则原方程的通解为y(C 1C 2x)e2x eax；(2)当 a2 时，因为 a2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)Ax 2e2x ，代入原方程得 A ，则原方程的通解为y(C 1C 2x)e2x x2e2x 【知识模块】 微积分
