1、考研数学三（微积分）模拟试卷 171 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 an 发散(a n 0)，令 Sna 1a 2a n，则 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）敛散性不确定2 设 f(x，y)sin ，则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导3 设 f(x)二阶连续可导，f(0)0，且 1，则( )（A）x0 为 f(x)的极大点（B） x0 为 f(x)的极小点（C） (
2、0，f(0)为 yf(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点， (0，f(0) 也不是 yf(x)的拐点4 当 x0 时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小( )（A）x 2（B） 1cosx（C） 1（D）xtanx二、填空题5 _6 设 f(x)为奇函数，且 f(1)2，则 f(x3) x1 _7 设 f(x)C1，+)，广义积分 1 f(x)dx 收敛，且满足 f(x) 1 f(x)dx，则f(x)_8 设 zxy xf ，其中 f 可导，则 _9 设 yy(x)可导， y(0) 2，令yy(xx) y(x)，且y x，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)_ 三、解
3、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 确定常数 a，c 的值，使得 c，其中 c 为非零常数13 设 y ，求 y14 求常数 a， b 使得15 证明方程 lnx 在(0，)内有且仅有两个根16 求 17 18 (1)设 f(t) 1tex2dx，求 01t2f(t)dt (2)设 f(x) 0ecostdt，求 0f(x)cosxdx19 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)2 x2f(x)dx证明：存在 (0，1)，使得2f() f()020 设 uf(x y，x 2y 2)，其中 f 二阶连续可偏导，求 21 设 zf(x，y)由 f(xy，xy)x
4、2y 2xy 确定，求 dz22 求 dxdy，其中 D：x 2y 2223 若正项级数 an 与正项级数 bn 都收敛，证明下列级数收敛：24 求微分方程 xy2ye x 的通解25 设 f(x)在0，)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与f(x)的几何平均数，求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 171 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为正项级数 ，令 Sn ，因为 ，所以选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以 f(x,y)在(0,0)
5、处对 x 不可偏导；因为 ，所以 fy(0,0)0，即 f(x,y)在(0，0)处对 y 可偏导，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 10，所以由极限的保号性，存在 0，当0x 时， 注意到 x3(x) ，所以当 0x 时，f(x) 0，从而f(x)在( ,) 内单调递减，再由 f(0)0 得 故 x0 为 f(x)的极大点，选(A) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 1cosx ，所以 xtanx 是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】
6、6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由 f(x3)3x 2f(x3)得3f( 1)3f(1)6【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 z xy【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 ，再由 y(0)2，得 C2，所以 y 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由洛必达法则，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 f(
7、x)在 x0 处可导，所以 f(x)在 x0 处连续，从而有f(00)2a f(0)f(00)3b， 由 f(x)在 x0 处可导，则 32a106b，解得 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 0 ，令 f(x)lnx 0，得 xe，因为 f(e) ，所以 f(e) 0 为 f(x)的最大值，又因为 f(x)， ，所以 f(x)0 在(0 ，) 内有且仅有两个实根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 f(1)0，所以 (2)0f(x)cosxdx 0f(x)d(sinx)f(x)sinx 0 0f(x)
8、sinxdx 0f(x)sinxdx 0ecosxsinxdx 0ecosxd(cosx)e cosx 0e 1 e【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 (x)x 2f(x)，由积分中值定理得 f(1) x2f(x)dxc 2f(c)其中 c0, ，即 (c)(1)，显然 (x)在区间0 ，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1) ，使得 ()0而 (x)2xf(x)x 2f(x)，所以 2f() 2f()0注意到 0，故 2f()f()0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 f 1f 12xf 2， f 12yf 2， f 112xf 122f 22x(f 212xf
9、22)f 114xf 124x 2f122f 2， f 112yf 122f 22y(f 212yf 22)f 114yf 124y 2f122f 2，则 2f 114(x y)f124(x 2y 2)f224f 2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 (02，0r)，则dxdy 02d0rcosrdr2 0rd(sinr)2rsinr 02 0sinrdr4【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 yp，则原方程化为 ，【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据题意得 ，则有 0xf(t)dtax ，两边求导得 f(x) ,即 f(x) ，解得 f(x) (C0)【知识模块】 微积分
