1、考研数学三（微积分）模拟试卷 173 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若级数 un 收敛(u n0)，则下列结论正确的是( )（A） 1（B） 1（C） (unu n1 )一定收敛（D） 收敛2 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则函数 f(x，y)在点(0，0)处( ) （A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值3 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，yf(xx)f(x)，其中x0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy04 设当 x0 时，(xsinx
2、)ln(1x)是比 exn1 高阶的无穷小，而 exn1 是比0x(1 一 cos2t)dt 高阶的无穷小，则 n 为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题5 _6 设 f(x)在 x2 处可导，且 2，则 f(2)_，f(2)_7 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)1，f(2)3，f(2)5，则 01xf“(2x)dx_8 设 f(x，y， z)e xyz2，其中 zz(x ，y)是由 xyz xyz0 确定的隐函数，则fx(0，1，1)_9 微分方程 xyyln(xy)1 0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 0a bc ，求 11 1
3、2 (1)设 0，求 a，b 的值(2)确定常数 a，b，使得 ln(12x) xx 2(x 2)(3)设 b0，且 2，求 b13 设 f(x)x(x1)(x2)(x3)(x100) ，求 f(0)14 设函数 f(x)在区间0， 3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1)f(2)3，f(3)1证明：存在 (0，3)，使得 f()015 设 f(x) ，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线16 求arcsin 2xdx17 设 f(x21)ln ，且 f(x)lnx，求(x)dx18 求 11(x x)e x dx19 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0
4、f(x)cosxdx 0f(x)sincxdx0证明： 存在 (0，)，使得 f()020 设 zz(x， y)由 xyzxyz 确定，求 21 试求 zf(x，y)x 3y 33xy 在矩形闭域 D(x，y)0x2，1y2)上的最大值与最小值22 计算下列二重积分：(1)计算 xydxdy，其中D(x，y)y0，x 2y 21，x 2y 22x)(2)设 f(x,y) f(x,y)dxdy，其中D(x，y)x 2y 22x)(3)设 D：x1，y 1，求 yxdxdy(4)设 D 是由 x0，yx 与 x2(yb) 2b2，x 2(ya) 2a2(0ab)所围成的平面区域，求 xydxdy(
5、5)设 D (x，y)x 2y 2x)，求 dxdy.23 设 为两个正项级数证明：24 求微分方程(y )dxxdy0 的满足初始条件 y(1)0 的解25 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行考研数学三（微积分）模拟试卷 173 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 Snu 1u 2u n，因为 0，令 Sn(u 1u 2)(u 2u 3)(u nu n1 )2S nu 1u
6、n1 ，于是 u 1 存在，选(C)，(A) ，(B)，(D)都不对【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 x21xsiny0，所以当 0 时，有 f(x，y)f(0，0)0，即 f(x， y)f(0 ，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，yf(x x)f(x)f() x0(xxx)dyf(x) x0，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 x,所以 f()f(x) ，于是 f()xf(x)x，即 dyy0，选(D)【知
7、识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 e xn1x n，因为 sinxx (x 3)，所以(xsinx)ln(1 x)， 所以 0x(1cos 2t)dt ，于是 n3，选(C) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 8【试题解析】 因为 2，所 f(x)0，再由 f(x)在 x2 处的连续性得 f(2)0由 f(2)2，得 f(2)8【知识模块】 微积分7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 f(x ，y，z)y(e x2ze x )，xy zxyz0 两边对 x 求偏导
8、得1 ，将 x0，y1，z1 代入得 ，解得 fz(0，1，1)1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 ln(xy) Cx【试题解析】 令 xyu ， yxy ，代入原方程得 lnu0，分离变量得，积分得 lnlnulnxlnC，即 lnuCx，原方程的通解为 ln(xy)Cx【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 cnanb nc n3cn 得 c 因为 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 (2)由 ln(12x) 2x (x 2)2x2x 2(x 2)ax1bx(x)axabx 2(x 2)得
9、 ln(12x) (a2)x(ab 2)x2(x 2)， 解得 a1，b3【知识模块】 微积分13 【正确答案】 f(0) (x1)(x2)(x100)100！【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)f(1)f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2，使得 f(c)1因为 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c) f(3)1，根据罗尔定理，存在 (c,3) (0，3)，使得 f()0【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x)
10、0，所以 f(x)在(，)上单调增加因为f(x) ，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0，则 yf(x)在(，0)的图形是凹的，yf(x)在(0，) 内是凸的，(0，0)为 yf(x)的拐点因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 为曲线 yf(x)的两条水平渐近线【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由定积分的奇偶性得 1 1（xx）ex dx 1 1xe x dx2 01xex dx2 01xd(ex )2xe x 012 01ex dx2e 1 2e x 012【知识模块】 微积分19
11、【正确答案】 令 F(x)f(t)sintdt，因为 F(0)F()0，所以存在 x1(0，) ，使得 F(x1)0，即 f(x1)sinx10，又因为 sinx10，所以 f(x1)0设 x1 是 f(x)在(0，) 内唯一的零点，则当 x(0，) 且 xx1 时，有 sin(xx 1)f(x)恒正或恒负，于是0sin(xx 1)f(x)dx0而 0sin(xx 1)f(x)dxcosx 10f(x)sinxdxsinx 10f(x)cosxdx0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x1)f(x 2)0，x 1，x 2(0，)且 x1x 2，由罗尔中值定理，存在 (x
12、1，x 2) (0，) ，使得f()0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 Fxyzxyz，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当(x，y)在区域 D 内时， 在 L1：y1(0x2)上，zx 33x1 ，因为 z3x 230，所以最小值为 z(0)1，最大值为 z(2)13；在 L2：y2(0x2)上，zx 36x8，由 z3x 260 得 x ，z(2)4；在 L3：z 0(1y2)上，z y 3，由 z3y 20 得 y0，z(1)1，z(0)0，z(2)8；在 L4：x 2(1y2)上，zy 36y8，由 z3y 260 得 y，z(2)4故 zx 3y 33xy 在 D 上
13、的最小值为1，最大值为 13【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (3)令 D1(x,y)1x1，1yx，由对称性得yxdxdy2 (xy)dxdy2 1 1dx1 x(xy)dy2 1 1x(x1) 1 (x21)dx2 01(x21)dx 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)取 01，由 0，根据极限的定义，存在 N0，当 nN时， 1，即 0anb n，由 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性 )，由比较审敛法得 收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)(2)根据(1)，当 nN时，有 0anb n，因为 发散，由比较审敛法， 发散【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由(y )dxxdy0，得 令 u ，则原方程化为lnxlnC，即 u Cx，将初始条件 y(1)0 代入得 C1由 ，即满足初始条件的特解为 y 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设所求曲线为 yy(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 Yy(Xx)(y0) 令 Y0，得 Xxyy，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 即 yy1y 2令 yp，则 yp ，两边积分得 y C 1，由y(1)1，y(1) 0 得 C10，所以 y ，变量分离得 dx，两边积分得ln(y ) xC 2，由 y(1)1 得 C2 1，【知识模块】 微积分
