1、考研数学三（微积分）模拟试卷 174 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 un 收敛，则下列正确的是( )（A） un2 一定收敛（B） un2 一定发散（C） un 绝对收敛（D）若 un 是正项级数，则 un2 一定收敛2 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值3 设 f(x)连续，f(0)0， 1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 yf(x)的拐点（D）f
2、(0)非极值，(0，f(0)也非 yf(x) 的拐点4 设 ，当 x0 时， 是 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小二、填空题5 _6 设 f(x)二阶连续可导，且 1，f(0)e，则 _7 设 f(x) 则 1 5f(x1)dx_8 设 f(x，y)可微，且 f1(1，3)2，f 2(1，3)1，令 zf(2x y， )，则dz (1， 3)_9 微分方程 y2dx(x 2xy)dy0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 f(x) 0tanxarctant2dt，g(x)xsinx，当 x0 时，比较
3、这两个无穷小的关系12 设 2，求 a，b 的值13 设 yln(23 x )，求 dy x0 14 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 015 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() f()16 求 17 (1)设 f(lnx) 求f(x)dx(2) 设 f(x) 18 计算下列定积分：19 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0) f(2)0，且f(x)2证明： 02f(x)dx220 举例说明多元函数连
4、续不一定可偏导，可偏导不一定连续21 平面曲线 L： 绕 x 轴旋转所得曲面为 s，求曲面 D 的内接长方体的最大体积22 计算 sinx2cosy2dxdy，其中 D：x 2y 21。(x0 ，y0) 23 求幂级数 的收敛域24 求微分方程(yx 3)dx2xdy0 的通解25 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间考研数学三（微积分）模拟试卷 174 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微
5、积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 3，所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0因为当 0 时，xy 20，所以当 0 时，有f(x，y)f(0， 0)，即 f(x，y)在(0，0) 处取极大值，选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 1 及 f(x)的连续性，得 f(0)0，由极限的保号性，存在0，当 0 x 时， 0，从而 f(x)0，于是 f(x)在(，) 内单调增加，再由 f(0)0，得当 x(，0)时，f(x) 0，当 x(O，)时，f(x)0，x0 为 f(x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由
6、5 得 5x；由 e 得 ex故 是 的同阶但非等价的无穷小，选(D) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 由 1 得 f(0)0，f(0) 1，【知识模块】 微积分7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 7dx3dy【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y【试题解析】 令 ，两边积分得 ulnu lnxlnC 0，解得 y 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】
7、微积分12 【正确答案】 则 a2，b12，即 a2 ，b1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 ，故 dy x0 ln3dx【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)f(x) xbg(t)dtg(x) axf(t)dt，(x)在区间a ，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 (x)f(x) xbg(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x) g(x) axf(t)dtf(x)xbg(t)dtg(x) axf(t)dt，因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使()0，即 f()bg(t)dtg() af(t)dt0，由于 g(b)0 及 g(x)0，所以区间(a，
8、b)内必有 g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0，于是有【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 (x)(bx) af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0，由 (x)(b x)a1 (bx)f(x)af(x)得(b) a1 (b)f()af()且(b) a1 0，故 f() f()【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(0) f( 1)x，其中 0
9、 1x，f(x)f(2)f( 2)(x2)，其中 x 22，于是 ，从而 02f(x)dx 02f(x)dx 01 f(x)dx 12f(x) dx 012xdx 122(2x)dx2【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设 f(x，y) ，显然 f(x，y)在点(0 ，0)处连续，但 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性， f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导设 f(x，y) 因为 所以 f(x，y)在点(0 ，0)处可偏导，且 fx(0，0)f y(0，0)0因为 f(x，y)不存在，而 f(0，0)0，故 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续【
10、知识模块】 微积分21 【正确答案】 曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 S： 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y， z)，则体积为 V8xyz 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 V【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由对称性得 I sinx2cosy2dxdy siny2cosx2dxdy，则 2Isinx2cosy2dxdy siny2cosx2dxdy sin(x2y 2)dxdy ，故six2cosy2dxdy (1cosa 2)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由(yx 3)dx2xdy0，得 ， 即原方程的通解为y (其中 C 为任意常数)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 2kr 2,V(t) 于是有r ktC 0，由 r(0)r 0，r(3) ，得 C0r 0，k ，于是r tr 0，令 r0 得 t6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 微积分
