1、考研数学三（微积分）模拟试卷 177 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) 0xdt0ttln(1u 2)du，g(x) (1cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，则当 x0 时有( )（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)03 设 k0，则函数 f(x)lnx k 的零点个数为 ( )（A）0
2、 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4 设 ，其中 D： x2y 2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题5 _6 _7 设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则_8 _9 设 f(x) xxecostdt，求 0f(x)cosxdx10 设 a0， f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则 I f(x)g(y x)dxdy_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求极限 13 设 xx(t) 由 sint 1x t du0 确定，求 14 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，
3、使得f() f(b) f(a) 15 设 0a b，证明： 16 设函数 yf(x)二阶可导，f(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 (y)17 设 f(lnx) 求 f(x)18 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)0，令 f(x)M证明： 0af(x)dx M19 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a ，b上的非负连续 函数，且 ab(x)dx1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx20 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，销售量分别为 q1，q 2， 需求函数分别为 q12402p 1，q 21
4、0005p 2，总成本函数为C35 40(q 1q 2)， 问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少 ?21 计算二重积分 (x24xy 2)dxdy，其中 D 是曲线 (x2y 2)2a 2(x2y 2)围成的区域22 设na n收敛，且 n(ana n1 )收敛，证明：级数 an 收敛23 求 的和24 设 uf 且二阶连续可导，又 0，求 f(x)25 在 t0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 1 5gL，用管子以2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然
5、后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程考研数学三（微积分）模拟试卷 177 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 m6 且 g(x) x2，故 x0 时，f(x) 是 g(x)的低阶无穷小，选(A) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)f(x) ，f( x)f(x)，f(x)f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，
6、选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，) ，由 f(x) 0 得 xe ，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 xe 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)k 0，又 f(x)， f(x)，于是 f(x)在(0， )内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 dxdy 02d0ard(a2r 2)解得 a2，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 0xsin(xt) 2dt x0sinu2(du) 0xsinu2du，则【知识
7、模块】 微积分6 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有 1cos ax x2，则 1 (2x)2x 2，1cos ，原式 2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 e 1 e【试题解析】 0f(x)cosxdx 0f(x)d(sinx)f(x)sinx 0 0f(x)sinxdx 0ecosxsinxdxe cosx 0e 1 e【知识模块】 微积分10 【正确答案】 a 2【试题解析】 由 f(x)g(y x) 得 I f(x)g(yx)dxdy a 201dxxx1 dya 2【
8、知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 将 t0 代入 sint 1xt eu2 du0 得 1xeu2 du0，再由 eu2 0得 x1，sint 1xt eu2 du0 两边对 t 求导得 coste1，cost 1)0 两边再对t 求导得sint2(xt) 0，将 t0，x1，2e 2【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(b)f(a) f(1)f( 2)，取绝对值得 f(b)f(a) f( 1)f( 2)(1) 当f( 1)f( 2
9、)时，取 1，则有f() f(b) f(a) ；(2)当f( 1) f(2)时，取 2，则有f() f(b) f(a) 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 首先证明 因为，所以令 (x)lnxlna ，(a)0，(x) 0(xa)，由0(xa) ，而 ba ，所以 (b)0，即令 f(x)lnx ，则存在 (a，b)，使得 其中 0a b，则【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 lnxt，则 f(t) 当 t0 时，f(t) t C 1；当 t0 时，f(t) etC 2显然 f(t)
10、为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C11C 2，故 f(x)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(0) f()x，其中 介于 0 与 x 之间，因为 f(0)0，所以f(x)f()xMx，x0，a，从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx M【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x0) f(x0)(xx 0) 取 x0 abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx1，于 是有 aabx(x)dxx 0b 把 x0 abx(x)dx 代入 f(x)f(x0) f(
11、x 0)(xx 0) 中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)f(x 0)x(x)x 0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 p 11205q 1，p 220020q 2，收入函数为 Rp 1q1p 2q2，总利润函数为 LRC(1205q 1)q1(20020q 2)q23540(q 1q 2)，由得 q18，q 24，从而 p180，p 2120，L(8，4)605，由实际问题的意义知，当 p180，p 2120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为 605【知识模块】 微积分21 【正确
12、答案】 根据对称性 (x24xy 2)dxdy4 (x2y 2)dxdy，其中 D1 是 D位于第一卦限的区域【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 Sna 1a 2a n，S n1 (a 1a 0)2(a 2a 1)(n1)(an 1a n)，则 Sn1 (n 1)a n1 S na 0，因为 n(ana n1 )收敛且数列na n收敛，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 f(r)0 或 rf(r)f(r)0， 解得 rf(r)C 1，由f(1)2 得 C12，于是 f(r) ，f(r)lnr 2C 2，由 f(1)0 得 C20，所以 f(x)lnx 2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，tdt内有 dm1 0，且满足初始条件 m1(0) 150，解得 m1(t) ；在时间t， tdt 内有 dm2，且满足初始条件 m2(0)150【知识模块】 微积分
