1、考研数学三（微积分）模拟试卷 178 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设(a n与b n)为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 anbn0，则 bn0（D）若 an 为无穷大，且 anbn0，则 bn 一定是无穷小2 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f(2) ，f(4)6，则 g(4)等于( )3 曲线 y 的渐近线的条数为( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条4 设
2、 条件收敛，且 r，则( )（A）r1（B） r1（C） r1（D）r1二、填空题5 _6 设 f(x)可导且 f(x)0，则 _7 设 yy(x)由 yexyxcosx10 确定，求 dy x0 _8 _9 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt arctanx2，f(1) 1，求 12f(x)dx10 设 f(x) D 为 xOy 面，则 f(y)f(xy)dxdy_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求极限 12 证明： 13 设 x33xyy 33 确定 y 为 z 的函数，求函数 yy(x)的极值点14 f(x)在 1，1上三阶连续可导，且 f(1)0， f
3、(1)1，f(0)0证明：存在(1 ，1)，使得 f()315 求由方程 x2y 3xy0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值16 设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 f(x)M证明：f(x 0)M17 02 dx18 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)f(0) 1证明： 0af2(x)dx119 令 f(x)xx ，求极限 20 设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)021 设半径为 R 的球面 S 的球心
4、在定球面 x2y 2 z2a 2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大? 22 设 an0(n1，2，)且a nn1 单调减少，又级数 (1) nan 发散，判断的敛散性23 设 f(x)的一个原凼数为 F(x)，且 F(x)为方程 xyye x 的满足 y(x)1 的解(1)求 F(x)关于 x 的幂级数； (2)求 的和24 设函数 f(x)在0，)内可导，f(0) 1，且 f(x)f(x) 0xf(t)dt0(1)求f(x)；(2) 证明：当 X0 时，e x f(x)125 某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所
5、消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学三（微积分）模拟试卷 178 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an2(1) n，b n2 (1) n，显然a n与b n都发散，但 anbn3，显然a nbn收敛； (B)，(C) 都不对，如 ann1(1) n，bn n1( 1) n，显然a n与b n都无界，但 anbn0，显然a nbn有界且bn0；正确答案为(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B
6、【试题解析】 因为 g(4) ，所以选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y，所以曲线 y 水平渐近线；由，得曲线 y 有两条铅直渐近线；由(yx) 0，得曲线 y 有一条斜渐近线 yx，选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 条件收敛，所以级数 一定不是正项或负项级数，故r0若 r1，则 r 1，级数 绝对收敛，矛盾；若r1，则 r 1，存在充分大的 N，当 nN 时，u n单调增加， 发散，矛盾，故r1，再由 r0 得r1，选(C)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由 0xtsin(x2t 2)dt 0x
7、sin(x2 t2)d(x2t 2) 0x2sinudu，得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 2dx【试题解析】 当 x0 时，y1，将 yexyxcosx 10 两边对 x 求导得exy ye xy(y )cosxxsinx0，将 x0，y1 代入上式得 2，故dy x0 2dx【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 由 0xtf(2xt)dt (2xu)f(u)(du) x2x(2xu)f(u)du2x x2xf(u)du xxuf(u)du 得 2xx2xf(u)du
8、x2xuf(u)du arctanx2，等式两边对 x 求导得2x2xf(u)dx2x2f(2x)f(x)4xf(2x) xf(x) ，整理得 2x2xf(u)duxf(x) ，取 x1 得 212f(u)f(1) ，故 12duf(x)dx 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 在 D1(x， y) x ，0y1) 上，f(y)y；在 D2：0xy1上，f(xy)xy，则在 D0D 1 D2(x，y)yx1y，0y1上，f(y)f(xy)y(xy)，所以 f(y)f(xy)dxdy 01dyy 1y y(xy)dx 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
9、演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 当 zx1，2时有 1 dx，当 x2，3时有dx，当 xn，n1 时有 dx，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 x 33xyy 33 两边对 x 求导得 3x23y3x(xy2)，令 0 得 yx 2，代入 x33xyy 33 得 x1 或 x ，因为 10，所以 x1 为极小值点，极小值为 y1；因为 10，所以 x为极大值点，极大值为 y ；xy 2 时， ，此时 y 没有极值【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由泰勒公式得 f(1)f(0) f(0)(10)(10)， 1(1，0)，f(1)f(0) f(0
10、)(1 0) (10) 3， 2(0，1)，两式相减得f(1) f(2)6因为 f(x)在1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1， 1上取到最小值 m 和最大值 M，故2mf(1)f( 2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (1，1)，使得 f()3【知识模块】 微积分15 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 y 得 y 0x，得y2x，再将 y2x 代入原方程得 x ，函数值为 y ，y0 代入 y得 320，所以 x 为函数的极大值点，且极大值为y 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x
11、)f(x 0)f()(xx 0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则M，即 f(x0)M【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由 1f(1)f(0) 01f(x)dx， 得 121( 01f(x)dx)0112dx01f2(x)dx 01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为xmx m(其中 m 为整数)，所以 f(x)xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n1 f(
12、x)dx，而 0nf(x)dxn 01f(x)dxn 01xdx ，同理 0n1 f(x)dx，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在(充分性) 若 (0，0)0，则 fx(0，0)0，f y(0，0)0所以 0，即 f(x，y)在点(0 ，0)处可微【知识模块】 微积分21 【正确答案】 设球面 S：x 2y 2(za) 2R 2，由得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为Dxy：x 2y 2 (4a2R 2)，球面 S 在定球内的方程为S：za ，因为 S 40，所以当 R 时球面 S
13、在定球内的面积最大【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为a nn1 单调减少且 an0(n1，2，)，所以A，由 (1) na0 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1) (x1)f(x)(x1)f(x) 0xf(t)dt0，两边求导数，得(x1)f(x)(x2)f(x) 再由 f(0)1，f(0) f(0) 0，得 f(0)1，所以 C1，于是 f(x) (2) 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)1，所以 f(x)f(0)1令 g(x)f(x)e x ，g(0)0，g(x) f(x)e x 0，由 f(x)ex (x0)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 20016)，其中 为体重，根据题意得 ，(0) 0，【知识模块】 微积分
