1、考研数学三（微积分）模拟试卷 182 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他2 函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件是( )3 设 05x dt， 0sinx dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4 二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y 3y(2x1)e x 的特解形式为( )（
2、A）(axb)e x（B） x2ex（C） x2(ax b)ex（D）x(axb)e x二、填空题5 _6 设 f(x) 在 x0 处连续，则 a_7 设 F(x) 0x(x2t 2)f(t)dt，其中 f(x)在 x0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2， 则 f(0)_8 _9 y 上的平均值为_10 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 a11，当 n1 时，a n1 ，证明：数列a n收敛并求其极限12 设 f(x)在a，)上连续，且 f(x)存在证明：f(x)在a，)上有界13 设 y 求 y14 设 f(x)在 x0
3、 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x 关于 x0 的对称点15 设 fn(x)xx 2x n(n2)(1)证明方程 f2(x)1 有唯一的正根 xn；(2)求xn16 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a 2上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)f(a 2)f(a n) 0证明：存在 (a1，a n)，使得17 设 f(x)在0，1上连续， f(0)0， 01f(x)dx0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dxf()18 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 01f(x2)dx
4、f 19 设 f(x，y) 讨论 f(x，y)在(0 ，0)处的连续性、可偏导性与可微性20 设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) f(x2 y2dxdy(t0)，求 F(0)21 设 f(x)为连续函数，计算 yf(x 2y 2)dxdy，其中 D 是由yx 3，y1，x1 围成的区域22 对常数 p，讨论幂级数 的收敛域23 设 un0， q 存在证明：当 q1 时级数 un 收敛，当 q1 时级数 un 发散24 设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)x，且由曲线 yf(z)，x1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(
5、1)曲线 yf(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x1 所围成的平面图形的面积25 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0) 1 且有 f(x)3 0xf(t)dt2x 01f(tx)dte x 0， 求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 182 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)f(0)0，所以 f(0)2，于是 1，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f(x)存在，但 f(x)在 x1 处不连续，所以也不可导；(B)不对，因为 存在只能保证 f(x)
6、在 x1 处右导数存在；(C)不对，因为，而不一定存在，于是 f(x)在 x1 处不一定右可导，也不一定可导；存在，所以f(x)在 x1 处可导选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1，所以两无穷小同阶但非等价，选(C) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y2y3y(2x1)e x 的特征方程为 2230，特征值为 11， 23，故方程 y2y 3y(2x 1)e x 的特解形式为 x(axb)e x ，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2【试题解析】 f(00)
7、，f(0)f(00)a，因为f(x)在 x0 处连续，所以 a2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 F(x)x 20xf(t)dt 02(t)dt，F(x) 2x 0xf(t)dt，因为当 x0 时，F(x)x 2，所以 1，而 2f(x)2f(0)，故 f(0) 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 arctanxdx arctanxdxarctanxdxarctanxdx(arctanx)xarctanx (arctanx)2xarctanx (arctanx)2C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试
8、题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 令 f(x) ，因为 f(x) 0(x0)，所以数列a n单调又因为a11，0a n1 1，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令 anA，则有 A【知识模块】 微积分12 【正确答案】 设 f(x)A，取 01，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时，f(x)A1，从而有f(x) A1又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k取 MmaxA1，k，对一切的 xa，)，有f(x)M【知识模块】 微积分13 【正确答案】
9、 当x1 时，y ；当 x1 时，y 1；当x1 时，y1；因为 y (1)y (1)，所以 y 在 x1 处不可导，【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(x)f(x 0)f(x 0)(xx 0) (xx 0)2 (xx 0)3(xx 0)4f(x)f(x 0)f(x 0)(xx 0) (xx 0)2 (xx 0)3(x x0)4，两式相加得 f(x)f(x) 2f(x 0)f(x 0)(xx 0)2 f(4)(1)f (4)(2)(xx 0)4 于是f(x 0) f (4)(1)f (4)(2)(xx 0)2，再由f (4)(x)M，得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 (1)
10、令 1(x)f n(x)1，因为 n(0)10， n(1)n10，所以 n(x)在(0，1) (0，)内有一个零点，即方程 fn(x)1 在(0，)内有一个根因为 n(x)12xnx n1 0，所以 n(x)在(0，) 内单调增加，所以n(x)在(0，) 内的零点唯一，所以方程 fn(x)1 在(0，)内有唯一正根，记为xn(2)由 fn(xn)f n1 (xn1 )0，得(x nx n1 )(x n2x n1 2)(x nnx n1 n)x n1 n1 0，从而 xnx n1 ，所以x nn1 单调减少，又 xn0(n1，2，)，故xnA，显然 Axnx11，由 xnx n2x nn 得1，
11、两边求极限得 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 当 ca 1(i1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设c 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1c a 2a n构造辅助函数 (x)f(x)k(xa 1)(xa 2)(x an)，显然 (x)在a 1，a 2上 n 阶可导，且 (a1)(c) (a 2)(a n)0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c)， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1 ，a n)，使得 (1(1)( 2(1)( n(1) 0，(x) 在(a 1，a 2)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1，a
12、 n)内至少有两个不同零点，设为c1，c 2(a1,an)，使得 (n1) (c1) (n1) (c2)0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2)(a1，a 2)，使得 n()0 (n)(x)f (n)(x)n!k，所以 f(n)()n!k，从而有【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)0，(1) 01f(x)dx0，由罗尔定理，存在 (0,1使得 ()0，而 (x) ，所以 0f(x)dxf()【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x)，其中 介于 与 t 之间，从而f(x2) ，积分
13、得 01f(x2)dx 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 0f(x，y)xy，因为 xy0，由夹逼定理得f(x，y)0f(0 ，0) ，即 f(x，y)在(0，0) 处连续由0 得 fx(0，0) 0，同理 fy(0，0)0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由 F(t) 02d0trf(r2)dr2 0trf(r2)dr 2t2f(u)du，得 F(t)2tf(t 2)，F(0)0， 2f(0)2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 yf(x 2y 2)dxdy 1
14、1xdxx31 yf(x 2y 2)dy 11xdxx31 dy 1 1xdxx31yf(x2y 2)dy 1 1x (1x 3)dx 1 1xdx31f(x2y 2)d(x2y 2) 1 1x4 1 1xF(x21)F(x 2x 6)dx2 01x4 sin4tcos2tdt2(I 4I 6) 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 ，得幂级数的收敛半径为 R1(1)当 p0 时，记 qp，则有 ，因而当 x1 时， 发散，此时幂级数的收敛域为(1，1) ；(2)当 0p1 时，对 ，所以 x1 时，级数 发散，当 x1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为1，1) ；(3)p 1 时，
15、 收敛，此时幂级数的收敛域为1，1) ；(4) 当 p1 时，对收敛，所以级数 收敛，当 x1 时， 显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为1，1【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)由 xf(x)2f(x)x f(x)xcx 2设平面图形 D 绕 z 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则因为 V(c) 0，所以 c 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)x x2(2)f(x) 1 ，f(0)1，曲线 f(x)x x2 在原点处的切线方程为yx，则 A 01x(x 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 x01f(tr)dt 0xf(u)du，所以 f(x)3 0xf(t)dt2x 01f(tx)dte x 0 可化为 f(x) 3 0xf(t)dt2 0xf(t)dte x 0， 两边对 x 求导得 f(x)3f(x)2f(x)e x ， 由 23 20 得 11， 22， 则方程 f(x)3f(x)2f(x)0 的通解为 C1ex C 2e2x 令 f(x)3f(x) 2f(x)e x 的一个特解为y0axe x ，代入得 a1， 则原方程的通解为 f(x)C 1ex C 2e2x xe x 由 f(0)1，f(0)1 得 C10 ，C 21，故原方程的解为 f(x)e 2x xe x 【知识模块】 微积分
