1、考研数学三（微积分）模拟试卷 183 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( )（A）若f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 处连续（B）若 f(x)在 xa 处连续，则f(x)在 xa 处连续（C）若 f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)f(a h)0，则 f(x)在 xa 处连续2 设 f(x)可导，则下列正确的是( )3 设 g(x) 0xf(u)du，其中 f(x) 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点4 设 1(x)，
2、 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x) 2(x)C 23(x)（B） C11(x) 2(x)C 23(x)（C） C11(x) 2(x)C 21(x) 3(x)（D）C 11(x)C 22(x) C33(x)，其中 C1C 2C 31二、填空题5 _6 设 f(x) 在 x0 处连续，则a_， b_7 设 f(x)在( ，) 上可导， f(x)f(x1)，则 a_8 maxx2,x 2_ 9 设 zxf(xy)g(x y，x 2y 2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 _
3、10 设 yy(x) 满足 y x( x)，且有 y(1)1，则 02y(x)dx_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1) 1证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c；(2)存在 0，2 ，使得 2f(0)f(1)3f(2) 6f() 12 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i1，2，n)，任取ki0(i1，2，n)，证明：存在 a，6，使得 k 1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()13 设 f(x) 且 f(0)存在，求 a，b，c14 设 f(x)，g(x) 在
4、a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f (a)f (b)0，且 g(x)0(xa,b)， g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得15 设 a0，讨论方程 aexx 2 根的个数16 设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(xh) f(x)f(xh)h(0 1)证明：17 设 f(x)在( a，a)(a0)内连续，且 f(0)2(1)证明：对 0xa ，存在0 1，使得 0xf(t)dt 0x f(t)dtxf(x)f(x)；(2)求 18 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： (ba)f abf(x)dxf(a) f(b)19
5、设 f(x，y) (1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续? (2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微?20 计算二重积分 I 21 交换积分次序并计算 0adx0x dy(a0)22 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x) q 1，令 unf(u n1 )(n1， 2，)，u 0a，b，证明：级数 (un1 un)绝对收敛23 设级数 (ana n1 )收敛，且 bn 绝对收敛证明： anbn 绝对收敛24 位于上半平面的上凹曲线 yy(x)过点(0，2) ，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x ，y) 处的曲率与 及 1y 2 之积成反比，比例系数为 k ，求yy(
6、x)25 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 zh(t) ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)?考研数学三（微积分）模拟试卷 183 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x) 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x) 显然 f(x)在 x0 处连续，但在任意 xa0处函数 f(x)都是间断的，故(C) 不对；令 f(x) 显然 f(0h)f(0h) 0，但 f(
7、x)在 x0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在 xa 处连续，则f(x)f(a)，又 0f(x)f(a) f(x)f(a)，根据夹逼定理，f(x)f(a)，选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)x，显然 f(x)，但 f(x)1，(A)不对，同理f(x)，但 f(x)1，(B) 也不对；令 f(x)x 2， f(x) ，但f(x)，(D) 不对；若 f(x)，则对任意的 M0，存在 X00，当xX0 时，有 f(x)M ，于是当 xX0 时，f(x)f(X 0)f()(xX 0)，其中 (X0，x)，即 f(x)f(X0)M(x X 0)，根据极限的保号
8、性，有 f(x)，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的三个线性无关解， 所以 1(x) 3(x)， 2(x) 3(x)为方程 ya 1(x)ya 2(x)y0 的两个线性无关解， 于是方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的通解为 C 11(x) 3(x)C 22(x) 3(x) 3(x) 即 C11(x)C 22(x)C 33(x)，
9、其中 C31C 1C 2 或C1C 2C 31，选(D) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 a 1， b1【试题解析】 f(00)a4b，f(0) 3,f(0 0)因为 f(x)在 x0 处连续，所以 a4b 32b 1，解得 a1，b1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】 e 2a，由 f(x)f(x1)f()，其中 介于 x1 与 x 之间，令 x，由 f(x)e 2，得f(x)f(x1) f()e 2，即 e2ae 2，所以 a1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 maxx2，x 2 当 x
10、1 时，maxx2,x 2dx C 1；当1x2 时，maxx2，x 2dx 2x C3当 x2 时，maxx 2，x 2dx C 3由2C 2，24C 2 C 3，得 C1C 2 ，C 3C 2 ，取C2C，【知识模块】 微积分9 【正确答案】 fxfx y1 g1lnxg1yx 2y1 lnxg112y 2xy1 g12 2xy1 lnxg214xyg 22【试题解析】 由 zxf(x y)g(x y，x 2y 2)，得 f(xy)xf(xy)yx y1 g1(xy，x 2y 2)2xg 2(xy，x 2y 2)fxfx y1 g1lnxg1yx 2y1 lnxg112y 2xy1 g12
11、2x y1 lnxg214xyg22【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 由y x(x)得函数 yy(x)可微且y ，积分得 y(x) ，因为 y(1)1，所以 C0，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)令 (x)f(x) 12x，(0) 1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1) ，使得 (c)0，于是 f(c)12c(2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M，由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得m M，由介值定理，存在 0，2，使得f()，于是 2f(
12、0)f(1) 3f(2)6f()【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(xi)M(i1，2，n)注意到 ki0(i 1，2，n)，所以有 kimkif(xi)kiM(i1，2，n)，同向不等式相加，得 (k1k 2k n)mk1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k1k 2k n)M，即 mM，由介值定理，存在 a，b，使得f() ，即 k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 f(x)在 x0 处连续，所以
13、c0，即 f(x)由f(x)在 x0 处可导，得 b1，即 f(x)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 设 f (a)0，f (b)0，由 f (a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)0；由 f (b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b) 0，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)0令 h(z) ，显然 h(x)在a， b上连续，由 h(a)h(c) h(b)0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)h() 0，令 (x)f(x)g(x) f(x)g(x)，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2)
14、(a，b)，使得 ()0，而 (x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ae xx 2 等价于 x2ex a0令 f(x)x 2ex ，由 f(x)(2xx 2)ex 0 得 x 0，x2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x0 为极小点，极小值为 f(0)a0；x2 为极大值点，极大值为 f(2) a ，又 f(x)a0(1)当 a 0，即0a 时，方程有三个根；(2) 当 a0，即 a 时，方程有两个根(3)当a0，即 a 时，方程只有一个根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由泰勒公式得 f
15、(xh)f(x) f(x)h ，其中 介于 x 与xh 之间由已知条件得 f(xh) f(x)h h2，或 f(xh) f(x) h，两边同除以 h，得 ，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (1)令 F(x) 0xf(t)dt 0x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)F(x) F(0) F(x)x，即 0xf(t)dt 0 xf(t)dtxf(x)f(x) (2)令 A，由 0xf(t)dt 0x f(t)dtxf(x)f(x) ，得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由勒公式得 f(x)，其中 介于 x 与之间，因
16、为 f(x)0，所以有 f(x) ，两边积分得 abf(x)dx(b a)f 令 (x) f(x)f(a) axf(t)dt，且 (a)0，(x) f(x)f(a) f(x)f(x) f(x)f(a)(xa)f(x)f() ，其中 ax，因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(axb)，由 得 (b)0，于是 abf(x)dx f(a)f(b)，故(ba)f abf(x)dx f(a)f(b)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)因为 0f(x，y) ，所以 f(x，y)0f(0 ，0)，故 f(x，y)在点 (0，0)处连续 (2)f(x，y)f(x，y)f(0，0
17、)，所以 f(x， y)存点(0，0)处不可微【知识模块】 微积分20 【正确答案】 I ，其中D(x ，y)0x1，xy 1， 则 D(r ，t) t0,0r2sint，于是【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由u n1 u nf(u nf(u n1 )f()u nu n1 qu nu n1 q 2u n1 u n2 q nu 1u 0u n1 u n收敛，于是 (un1 u n)绝对收敛【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 Sn(a 1a 0)(a 2a 1)(a na n1 )，则 Sna na 0因为级数 (ana n1 )收敛，所以
18、S ，则有an 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n有a nM因为 绝对收敛，所以正项级数 b n收敛，又0a nbnMb n，再由 Mb n收敛，根据正项级数的比较审敛法得 a nbn收敛，即级数 anbn 绝对收敛【知识模块】 微积分24 【正确答案】 根据题意得令 yp，则有 ，因为 p(2)0，所以C10，故 yp 进一步解得 2 C 2，因为 y(0)2，所以 C20，故曲线方程为 y 2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 t 时刻堆体积 V 0hdz h3，侧面积 S ，根据题意得 09S ，整理得 ，解得 h(t) C，因为 h(0) 130，所以 C130，则 h(t)1300，得 t 100，即经过 100 小时全部融化【知识模块】 微积分
