[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷183及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 183 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( )(A)若f(x)在 xa 处连续,则 f(x)在 xa 处连续(B)若 f(x)在 xa 处连续,则f(x)在 xa 处连续(C)若 f(x)在 xa 处连续,则 f(x)在 xa 的一个邻域内连续(D)若 f(a+h)f(a h)0,则 f(x)在 xa 处连续2 设 f(x)可导,则下列正确的是( )3 设 g(x) 0xf(u)du,其中 f(x) 则 g(x)在(0,2)内( )(A)单调减少(B)无界(C)连续(D)有第一类间断点4 设 1(x),
2、 2(x), 3(x)为二阶非齐次线性方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为( )(A)C 11(x) 2(x)C 23(x)(B) C11(x) 2(x)C 23(x)(C) C11(x) 2(x)C 21(x) 3(x)(D)C 11(x)C 22(x) C33(x),其中 C1C 2C 31二、填空题5 _6 设 f(x) 在 x0 处连续,则a_, b_7 设 f(x)在( ,) 上可导, f(x)f(x1),则 a_8 maxx2,x 2_ 9 设 zxf(xy)g(x y,x 2y 2),其中 f,g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则 _
3、10 设 yy(x) 满足 y x( x),且有 y(1)1,则 02y(x)dx_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在0,2上连续,且 f(0)0,f(1) 1证明:(1)存在 c(0,1),使得 f(c)12c;(2)存在 0,2 ,使得 2f(0)f(1)3f(2) 6f() 12 设 f(x)在a,b上连续,任取 xia,b(i1,2,n),任取ki0(i1,2,n),证明:存在 a,6,使得 k 1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()13 设 f(x) 且 f(0)存在,求 a,b,c14 设 f(x),g(x) 在
4、a,b 上连续,在(a ,b)内二阶可导,f(a)f(b)0,f (a)f (b)0,且 g(x)0(xa,b), g(x)0(axb),证明:存在 (a,b),使得15 设 a0,讨论方程 aexx 2 根的个数16 设 f(x)二阶连续可导,且 f(x)0,又 f(xh) f(x)f(xh)h(0 1)证明:17 设 f(x)在( a,a)(a0)内连续,且 f(0)2(1)证明:对 0xa ,存在0 1,使得 0xf(t)dt 0x f(t)dtxf(x)f(x);(2)求 18 设 f(x)在区间a,b上二阶可导且 f(x)0证明: (ba)f abf(x)dxf(a) f(b)19
5、设 f(x,y) (1)f(x,y)在点(0,0)处是否连续? (2)f(x,y)在点(0,0)处是否可微?20 计算二重积分 I 21 交换积分次序并计算 0adx0x dy(a0)22 设 f(x)在区间a,b上满足 af(x)b,且有f(x) q 1,令 unf(u n1 )(n1, 2,),u 0a,b,证明:级数 (un1 un)绝对收敛23 设级数 (ana n1 )收敛,且 bn 绝对收敛证明: anbn 绝对收敛24 位于上半平面的上凹曲线 yy(x)过点(0,2) ,在该点处的切线水平,曲线上任一点(x ,y) 处的曲率与 及 1y 2 之积成反比,比例系数为 k ,求yy(
6、x)25 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足 zh(t) ,已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09,问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm,时间单位为 h)?考研数学三(微积分)模拟试卷 183 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x) 显然f(x)1 处处连续,然而 f(x)处处间断,(A)不对;令 f(x) 显然 f(x)在 x0 处连续,但在任意 xa0处函数 f(x)都是间断的,故(C) 不对;令 f(x) 显然 f(0h)f(0h) 0,但 f(
7、x)在 x0 处不连续,(D)不对;若 f(x)在 xa 处连续,则f(x)f(a),又 0f(x)f(a) f(x)f(a),根据夹逼定理,f(x)f(a),选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)x,显然 f(x),但 f(x)1,(A)不对,同理f(x),但 f(x)1,(B) 也不对;令 f(x)x 2, f(x) ,但f(x),(D) 不对;若 f(x),则对任意的 M0,存在 X00,当xX0 时,有 f(x)M ,于是当 xX0 时,f(x)f(X 0)f()(xX 0),其中 (X0,x),即 f(x)f(X0)M(x X 0),根据极限的保号
8、性,有 f(x),选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ,2)内只有第一类间断点,所以 g(x)在(0,2)内连续,选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x), 2(x), 3(x)为方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的三个线性无关解, 所以 1(x) 3(x), 2(x) 3(x)为方程 ya 1(x)ya 2(x)y0 的两个线性无关解, 于是方程 ya 1(x)ya 2(x)yf(x)的通解为 C 11(x) 3(x)C 22(x) 3(x) 3(x) 即 C11(x)C 22(x)C 33(x),
9、其中 C31C 1C 2 或C1C 2C 31,选(D) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 a 1, b1【试题解析】 f(00)a4b,f(0) 3,f(0 0)因为 f(x)在 x0 处连续,所以 a4b 32b 1,解得 a1,b1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】 e 2a,由 f(x)f(x1)f(),其中 介于 x1 与 x 之间,令 x,由 f(x)e 2,得f(x)f(x1) f()e 2,即 e2ae 2,所以 a1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 maxx2,x 2 当 x
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