1、考研数学三（微积分）模拟试卷 185 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 为 f(x)arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )2 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0,x 0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x 0)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值3 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函
2、数的是( )（A） 0xtf(t)f(t)dt（B） 0xtf(t)f(t)dt（C） oxf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt二、填空题4 _5 设两曲线 yx 2ax b 与2y1xy 3 在点(1，1)处相切，则a_， b_6 曲线 y 的斜渐近线为_7 _8 设 zf(x，y)二阶可偏导， 2，且 f(x，0)1，f y(x，0)x，则 f(x，y)_9 微分方程 yy2(y) 20 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续12 设 c(0
3、) ，求 n，c 的值13 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 0，又f(2)2 f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()f()014 设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有f(ab) f(a)f(b)15 设 k 为常数，方程 kx 10 在(0，)内恰有一根，求 k 的取值范围16 求 的最大项17 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x( ， )有f(x) f(x) 1证明：f(x)1 18 设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x1 所围成的图形 面积为 S2，且 a1
4、 (1)确定 a，使 S1S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积19 设 uf 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 20 计算 (x2y 2)dxdy，其中 D：x 2y 22x2y 121 证明：用二重积分证明 22 设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 0证明：级数绝对收敛23 设函数 f0(x)在(，)内连续，f n(x) 0xfn1 (t)dt(n1，2，)(1)证明：fn(x) 0x(t)(xt) n1 dt(n1，2，)；(2)证明： fn(x)绝对收敛24 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1
5、) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲 线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积25 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向 点 A 的固定速度 v1，朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学三（微积分）模拟试卷 185 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)f(0)f()a，即 arctana，【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x 0(n)
6、时，f(x) 0，则 f(x)在 x0 的任意邻域内都不单调减少，(A) 不对；f(x) f(x)在 x0 处取得极大值，但其在 x0 的任一领域内皆不单调，(B)不对；f(x) f(x)在x1 处取得极大值，但 f(x)在 x1 处不连续，(C)不对；由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)0，所以 x0 一定为 f(x)的极值点，选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t) f(t)为偶函数，所以 0xtf(t)f(t)dt 为奇函数，(A)不对；因 为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C) 不对；
7、因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以 (D) 不对；令 F(x) 0xtf(t)f( t)dt ， F(x) 0x tf(t)f( t)dt 0x(u)f(u)f( u)(du) F(x) ，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 因为 eln2(1x) 1ln 2(1x)x 2，【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3，3【试题解析】 因为两曲线过点(1，1)，所以 b a0，又由 yx 2axb 得a2，再由2y1xy 3 得2 ，且两曲线在点(1，1) 处相切，则 a21，解得 ab 3【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y2x4【试题解析】 曲线 的斜渐
8、近线为 y2x4【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 y 2xy1【试题解析】 由 2y(x)，因为 fy(x，0)x，所以 (x)x，即 2yx，z y 2xy C，因为 f(x，0)1，所以 C1，于是 f(x，y)y 2xy1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x)ex0
9、x f(x0)，令 xx 0 由夹逼定理得 f(x00)=f(x 0)；当 xx 0 时，有 故 ex0x f(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x00)f(x 0)，故 f(x00)f(x 00)f(x 0)，即f(x)在 xx 0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由积分中值定理得 f(2)2 f(x)dxf(c)，其中 c1， ，由罗尔定理，存在x0(c，2) (1，2) ，使得 f(x0)0令 (x)e xf(x)，则 (1)(x 0)0，由罗尔定理，存在 (1，
10、x 0) (0，2)，使得 ()0，而 (x)e xf(x)f(x)且 ex0，所以 f()f() 0【知识模块】 微积分14 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a)， 2(b，ab)，使得 两式相减得 f(ab)f(a)f(b)f( 2)f( 1)a因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(ab)f(a)f(b) f( 2)f()a0，即 f(ab)f(a)f(b)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)kx 1，f(x)k ，x(0，)(1)若 k0，由f(x)，又 f(x)k 0，所以原方程在(0，)内恰有
11、一个实根；(2)若 k0， f(x)1，又 f(x) 0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若k0， ，令 f(x) k ，又f(x) 0，所以 f(x0)1 为 f(x)的最大值，令 1 0，得k ，所以 k 的取值范围是kk 或 k0【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x) (x1)，由 f(x) 得 f(x) ，令 f(x)0 得 xe当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，)时，f(x)0，则 xe 为 f(x)的最大点，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 (x)e xf(x)，则 (x)e xf(x)f(x)， 由f(x)f(x)1得(x)e x，又由 f(x)
12、有界得 () 0，则 (x)(x)() x(x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) x(x)dx xexdxe x，所以f(x)1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0，0)，(a，a 2)当0a1 时， SS 1S 2 0a(axx 2)dx a1(x2)dx 令 Sa 2时，S 1S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S a0(axx 2)dx 01(x2ax)dx，因为 S (a21)0，所以 S(a)单调减少，故 a0 时S1S 2 取最小值，而 S(0)时，S1S 2 最小(2)旋转体的体积为 Vx【知识模块】 微积
13、分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 D：x 2y 22x2y1 可化为 D：(x1) 2(y1) 21，令0t2，0r1，则 (xy 2)dxdy 02dt01r(1rcost12rsintr 2sin2t)rdr【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 D1(x，y)x 2y 2R2，x0，y0，S(x，y) 0xR，0yR，D 2(x ，y) x 2y 22R2，x0，y0令R 同时注意到 0Rex2 dx0，根据夹逼定理得 0 ex2 dx 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 0，得 f(0)0，f(0)0由泰勒公式得 f(x)f(0)f(0)x ，其
14、中 介于 0 与 x 之间又 f(x)在 x0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f(x)M，其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的界所以对充分大的 n，有【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)n 1 时，f 1(x) 0xf0(t)dt，等式成立；设 nk 时，f k(x)0xf0(t)(xt) k1 dt，则 nk1 时，f k1 (x) 0xfk(t)dt 0xdt0t f0(u)(tu) k1 du 0xduuxf0(u)(tu) k1 dt 0xf0(u)(xu) kdu 由归纳法得 fn(x) 0xf0(t)(xt) n1 dt(n1，2，
15、)(2)对任意的 x(，)，f 0(t)在0，x或x，0 上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关)，使得f 0(t)M(t 0，x或 tx，0) ，于是f n(x) 0x(xt) n1 dtx n 因为 收敛，根据比较审敛法知绝对收敛【知识模块】 微积分24 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 2，解得 yx(2xC 1)，因为曲线L1 过点(1 ，1)，所以 C1 1，故 L1：y2x 2x对曲线 L2，由题意得 (x)2，解得 ，因为曲线 L2 过点(1，1)，所以 C21，故 L2：y2由 2x2x2 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为 A 2x 2x)dx ln2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则【知识模块】 微积分
