1、考研数学三（微积分）模拟试卷 187 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x0 处二阶可导，f(0) 0 且 2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x) 的拐点2 设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x) 在 x0 的邻域内连续，且0，又 f(x)2x 2 0xg(xt)dt，则( )（A）x0 是 f(x)的极大值点（B） x0 是 f(x)的极小值点（C） (0,f(
2、0)是曲线 yf(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点， (0，f(0) 也不是曲线 yf(x)的拐点3 设 f(x，y) 则 f(x，y)在(0 ，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导二、填空题4 设 f(x)连续，f(0)0，f(0)1，则 _5 设 f(x)二阶连续可导，且 0，f(0)4，则_6 设 f(ln)x，则f(x)dx_7 _8 设(ay2xy 2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则a_， b_9 以 yC 1e xc x(C2cosxC 3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_三、解答题解
3、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并判断其类型12 设 ，求 a，b 的值13 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a) f(b) 1证明：存在 ， (a，b)，使得 2e 2 (e ae b)f()f() 14 设 f(x)二阶可导， 1 且 f(x)0证明：当 x0 时，f(x)x15 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f(0) 0，f(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 16 设 f(x)连续，且 f(x)2 0xf(xt)dte x，求 f(x)17 设
4、f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：18 求椭圆 1 与椭圆 1 所围成的公共部分的面积19 设 z 20 计算 I dxdy，其中 D(x，y)1x1，0y221 设 an 收敛，举例说明级数 an2 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明an2 一定收敛22 求幂级数 的收敛域23 设 f(x)是连续函数(1)求初值问题 的解，其中 a0；(2)若f(x)k，证明：当 x0 时，有y(x) (eax1)24 用变量代换 xlnt 将方程 e 2xy0 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解25 设商品需求函数为 Q 4，求收益 R 对价格 P 的弹性考
5、研数学三（微积分）模拟试卷 187 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 2 得 f(0)f(0)0，于是 f(0)0再由f(0)f(0)2，得 f(0)20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 0 得 g(0)g(0) 0，f(0) 0，f(x)2x 2 0xg(xt)dt2x 2 0xg(xt)d(xt) 2x2 0xg(u)du，f(x)4xg(x) ，f(0) 0， f(x)4g(x)，f(0)40，因为 f(0)40，所以存在 0，当 0x 时，0，
6、从而当 x( ，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)0，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x，y)0f(0 ，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续；因为，所以 fx(0，0)0，根据对称性，f y(0， 0)0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导：由，得f(x，y)在(0，0)处可微；当 (x，y)(0，0)时，f x(x，y)2xsin，则 fx(x，y)因为不存在，所以fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C) 【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 0【试题解析】 0xlnc
7、os(xt)dt 0xlncos(xt)d(xt) x0lncosudu 0xlncosudu，【知识模块】 微积分5 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 0 得 f(0)0，f(0) 0，则【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 a 4，b 2【试题解析】 令 P(x，y) ay2xy 2，Q(x ，y)bx 2y4x3，因为(ay2xy 2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，所以2bxy 4 a 4xy，于是 a4，b 2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 0【试题
8、解析】 特征值为 11， 2,31i ，特征方程为 (1)(1i)(1i)0，即 3 32 420，所求方程为 y3y 4y 2y0【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 f(x)的间断点为 xk(k0，1，)及xk (k0，1，)因为 ，所以 x0 为 f(x)的可去间断点；因为 ，所以 xk(k1，2，)为f(x)的第二类间断点；因为 0，所以xk (k0，1，)为 f(x)的可去间断点【知识模块】 微积分12 【正确答案】 ln(1x)(ax bx 2)x (x 2)(ax bx 2)(1a)x(b
9、 )x2(x 2)，由 1 得 0x2et2 dtx 2，于是故 a1，b2【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 (x)e xf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得e f()f()再由 f(a)f(b)1，得 e f()f()从而(e ae b)ef()f()，令 (x)e 2x，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 即 2e2(e ae b)ef()f()，或 2e2 (e ae b)f()f()【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 1，得 f(0)0，f(0)1，又由 f(x)0 且 x0，所以 f(x)f(0) f(0)xx【知识模块】 微积分15 【正确答案】
10、曲线 yf(x)在点(x ，f(x) 处的切线方程为 Yf(x)f(x)(X x)，令 Y0 得 ux ，由泰勒公式得 f(u) f(1)u2，其中 1 介于 0 与 u 之间，f(x) f(2)x2，其中 介于 0 与 x 之间，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 0xf(xt)dt f(u)(du) 0xf(u)du，f(x)2 0xf(u)due x 两边求导数得 f(x)2f(x)e x，则 f(x) Ce 2xe x，因为f(0)1，所以 C2，故 f(x)2e 2xex【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f(x)M0，从而Mm ，两
11、边积分得 01f(x)dxMm 01 dxMm，因为 01f(x)dxMm 01【知识模块】 微积分18 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 L1： 1 的极坐标形式为 L2：r 2r 12()，L 2： 1 的极坐标形式为 L2：r 2r 22()， 则第一象限围成的面积为【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 D1(x，y)1x1，0yx 2，D2(x，y)1x1，x 2y2，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 an ，由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数收敛，而 发散，设 是正向收敛
12、级数，则 0，取 01，存在自然数 N，当 nN 时，a n01，从而0an 1，当 nN 时，有 0an2a n1由 收敛，再由比较审敛法得 收敛【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)yayf(x)的通解为 y 0xf(t)eatdtCe ax ，由 y(0)0 得C0，所以 ye ax 0xf(t)eatdt(2) 当 x0 时，ye ax 0xf(t)eatdte ax 0xf(t)e atdtkeax 0xeatdt (eax1)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 代入原方程得 y0 y0 的通解为 yC 1costC 2sint，故原方程的通解为 yC 1cosexC 2sinex【知识模块】 微积分25 【正确答案】 收益函数为 RPQ 4P，收益 R 对价格 P 的弹性为【知识模块】 微积分
