1、考研数学三（微积分）模拟试卷 189 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xa 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续2 设函数 f(x)满足关系 f(x)f 2(x)x，且 f(0)0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 yf(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 yf(x)的拐点3 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件0，则( )（A）f(x，y)的最大值点
2、和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 _5 设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0) 1，f(0)2 且 f(x)在 x0 的邻域内连续，则_6 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dtf(x)xsinx，则 f(x)_7 设 f(x)满足等式 xf(x)f(x) ，且 f(1)4，则 01f(x)dx_8 设 f(x) ，则 0f(x)dx_
3、9 差分方程 yt1 2y t32 t 的通解为 y(t)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 e 3，其中 f(x)连续，求 11 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并指出其类型12 设 f(x)连续可导， 13 一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 414 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 xia，b(i1，2，n)及ki0(i 1，2，n)且满足 k1k 2k n1证明： f(k 1x1k 2x2k nxn)k1f(x1)k 2x2 k nf
4、(xn)15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f (a)f (b)0证明：存在(a， b)，使 得 f()016 17 设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明： 1n1 f(x)dx f(k)f(1) 1nf(x)dx18 证明： 0xasinxdx acosx dx ，其中 a0 为常数19 设函数 xf(u)，方程 u(u) yxP(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 20 计算 I xydxdy，其中 D 由 yx，y 围成21 若正项级数 un 收敛，证明： 收敛22 求幂级数 的和函数2
5、3 利用变换 xarctant 将方程 cos4x cos 2x(2sin2x) ytanx 化为 y 关于t 的方程，并求原方程的通解24 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚 导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程考研数学三（微积分）模拟试卷 189 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 xa 处右可导，所以 存在，于是f(x)f(a)，即
6、f(x)在 xa 处右连续，同理由 f(x)在 xa 处左可导，得 f(x)在xa 处左连续，故 f(x)在 xa 处连续，由于左、右导数不一定相等，选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)0 得 f(0)0，f(x)1 zf(x)f(x)，f(0)10，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)0，得故(0，f(0)是曲线 yf(x) 的拐点，选(C) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有0，因为 M0 为最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有即 AC
7、B 20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)0，又因为 f(x)在 x0 的邻域内连续，所以 f(x)f(0) f(0)x x2(x 2)1x 2(x 2)，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 cosxxsinxC【试题解析】 由 01f(xt)dtf(x)xsinx，得 01f(xt)d(xt)xf(x)x 2sinx，即 0xf(t)dtxf(x)x 2sinx，两边求导得
8、f(x)2sinxxcosx，积分得 f(x)cosx xsinx C 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 01f(x)dxxf(x) 01 01xf(x)dxf(1) 01f(x) dx4 01f(x)dx 01 d(1x)4 01f(x)dx 01 dt4 01f(x)dx cos2d4 01f(x)dx ，于是 01f(x)dx2 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 2【试题解析】 0f(x)dx 0dx0x dt 0dtt dx 0sintdt2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C2 t t2t【试题解析】 y t1 2y t0 的通解为 y(t)C2 t，f(t
9、) 32 t，因为 2 为特征值，所以设特解为 yt*at2 t，代入原方程得 a ，故原方程的通解为 y(t)C2 t t2t【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 首先 f(x)其次f(x)的间断点为 xk(k0，1，)，因为 f(x)e，所以 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，xk(k1 ，) 为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 0xf(x t)dt x0f(u)(du) 0xf(u)du，xln(1 x)xx(x 2) 得【知识模块】 微积分
10、13 【正确答案】 设运动规律为 SS(t)，显然 S(0)0，S(0)0，S(1) 1，S(1)0由泰勒公式两式相减，得 S(2)S( 1)8 S( 1)S( 2)8 当S( 1)S( 2)时，S( 1)4；当S( 1)S( 2)时，S( 2)4【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 x0k 1x1k 2x2k nxn，显然 x0a，b因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)f(x 0)(xx 0)，分别取 xx i(i1，2， ，n)，得由 ki(i 1，2，n)，上述各式分别乘以 ki(i1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)k 2f(x2)k nf(x
11、n)，即 f(k1x1k 2x2k nxn)k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 不妨设 f (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f (a)0，则存在 0(ba)，当 0xa 时，0 即 f(x)f(a)，所以存在 x1(a，b) ，使得 f(x1)f(a)同理由f (b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x 2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b) 内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()0【知识模块】 微积
12、分16 【正确答案】 因为(x 2ex)(x 22x)e x，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 1n1 f(x)dx 12f(x)dx 23f(x)dx nn1 f(x)dx，当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn1 f(x)dxf(n)，相加得 1n1 f(x)dx f(k)；当 x1，2 时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12f(x)dx，同理 f(3)23f(x)dx，f(n) n1 nf(x)dx，相加得 f(2)f(n) 1nf(x)dx，于是f(k)f(1) 1nf(x)dx【知识模块】 微积分1
13、8 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 z f(u) 两边对 x 及 y 求偏导，得方程 u(u) yxP(t)dt 两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1(x，y) 0x1 ，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 x0 时，ln(1x)x，于是 为正项级数，而 ln(1u n)u n (u n2)，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 级数 x2n 的收敛半径为 R，收敛区间为(， )【知识模块】 微积分23 【正确答案】 y0 的特征方程为 22 10，特征值为 1 21，则yt 的通解为 y(C 1C 2t)et t2，故原方程通解为y(C 1C 2tanx)etanx tanx2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为【知识模块】 微积分
