1、考研数学三（微积分）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则在(0 ，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数2 设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小3 设函数 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续4 设 ，则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）
2、可导但不是连续可导（D）连续可导5 若 f(x)=一 f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)06 f(x)在( 一，+)内二阶可导，f“(x) 0， ，则 f(x)在(一，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零二、填空题7 设 f(x)在 x=a 处可导，则8 设 f(a)存在且不等于零，则 =_9 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 =_10 设 f(x)= ，且
3、 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_11 设 f(x)在 x=2 处可导，且 ，则 f(2)=_，f(2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设函数 f(x)在区间0， 3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明：存在 (0，3)，使得 f()=013 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0，试证明存在 (a，b)使14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得15 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连
4、续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得 16 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0+( 一 1)f()=017 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( )0证明：存在 (a，b)，使得 f()=f()18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=019 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得 20 95设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点
5、A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 ac b)证明：存在 (a，b)，使得f“()=021 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0， f()022 设 ba 0，证明：23 设 f(x)在a，b上满足f“(x)2 ，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：f(a) + f(b)2(b 一 a)24 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x)25 设函数 f(x)，g(x) 在a，+
6、)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x) 26 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)考研数学三（微积分）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ， 令 h(x)=xf(x)一 f(x)，h(0)=0，h(x)=xf“(x)0(0xa)， 由 ，得 h(x)0(0xa)， 于是在(0，a上为单调减函数，选B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=d
7、y+0(x)，所以ydy 是x 的高阶无穷小，选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因 =3=f(1)，所以 f(x)在x=1 处连续 因为 ，所以 f(x)在 x=1处可导 当 x1 时，f(x)=2x+1，因为 =3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续可导，选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f“(x)0，选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解
8、析】 由 ，得 f(0)=0，f(0)=1，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少，在(一 ，0) 内 f(x)f(0)=10，故 f(x)在(一，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(一，0)内 f(x)f(0)=0，选 B【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，=2f(a)5f(a)=10f(a)f(a)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，【知识模块】 微积
9、分10 【正确答案】 2；2；2【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f+(0)=f(0)，故 b=一 2【知识模块】 微积分11 【正确答案】 2；8【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2 ，使得 f(c)=1 因为 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在 (c，3)
10、(0，3)，使得 f()=0【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 ，(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且因为(a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0 ，从而就有【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)=f(b)lnxf(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0【试题解析】 由 一 f(x)lnx+f(x)lna=0，或f(b)lnx 一 f(x)lnx+f(x)lna=0，辅助函数为 (x)=f(b)l
11、nx 一 f(x)lnx+f(x)lna【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下把结论中的 换成 x 得 ，整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)=0，还原得 f(
12、x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)= 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)=【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0，f( )xf(x)，则 (x)=e xf(x)一 f(x) 因为 (a)0， ， 使得 (1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (，) (a，b)，使得 ()=0， 即 ef()=f()=0，因为 e0，所以 f()=f()【知识模块】 微积
13、分18 【正确答案】 因为 f(0)=f(1)，所以f()=一 f()，即 f()+f()=0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得，再由微分中值定理，存在车(口，多) ，使得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 因为点 A，B ，C 共线，所以 f(1)=f(2)，又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (，) (a，b)，使得f“()=0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)
14、，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)= ，其中 (a，b) 因为 0a b，所以【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0 由微分中值定理得 两式相加得f(a) + f(b)2(b 一 a)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=(a)=0，“(x)0(xa) 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2x 一 ln2(1+x)一2ln(1+x)，f(0)=0； 【知识模块】 微积分
