1、考研数学三（微积分）模拟试卷 194 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)f(a h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续2 则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续3 设 1(x)， 2(x)，
2、3(x)为二阶非齐次线性方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x) 2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)+C21(x) 3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题4 =_5 设 f(x)可导且 f(x)0，则 =_6 设两曲线 y=x2+ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则a=_b=_7 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x
3、)，则(1)=_8 maxx+2，x 2dx=_9 上的平均值为_10 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x 3，则uxy(x，3x)=_.11 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则=_。12 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n)收敛并求其极限14 设 f(x)=a1ln(1+x)+a21n(1+2x)+an1n(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x) e x 一 1证明：a 1+2
4、a2+nan115 设 x=x(t)由 sint 1xt eu2 du=0 确定，求16 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于417 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f 4(x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x 关于 x0 的对称点18 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=2，f(0)=1，f(x)0 证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根19 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0， 证明：存
5、在(0， 2)，使得 f()=220 求 的最大项21 求22 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明：22 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a123 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；24 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积25 设 z=(x2+y2)sec2(x+y)，求26 计算27 设na n)收敛，且 收敛28 求幂级数 的和函数29 设 对任意的参数 ，讨论级数 的敛散性，并证明你的结论考研数学三（微积分）模拟试卷 194 答案与解析一、选择题下列每题给出
6、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，A 不对；令 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意x=a0处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对；令 f(0+h)f(0h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)=f(a)，又 0f(x)f(a)f(x)f(a) ，根据夹逼定理，f(x)=f(a) ，选 B【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时，
7、 当 x0 时，f(x)所以 f(x)在 x=0 处连续，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1(x) 2(x)， 2(x) 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x) 3(x)+C22(x) 3(x)+x(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1C 1C 2 或 C1+C2+C3=1，选 D【知识模块】 常微分方程与差分方程二
8、、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 a=b=3【试题解析】 因为两曲线过点(1，1)，所以 b a=0，又由 y=x2+ax+b 得=a2，再由2y=1+xy 3 得 且两曲线在点(1，1) 处相切，则 a2=1，解得 a=b=3【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fy1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1， 2)+2
9、fy(1，2) =3+4(3+8)=47【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 maxx+2，x 2= 当 x1 时，maxx+2，x 2dx= +C1；当1x2 时，maxx+2，x 2dx= +2x+C2；当x2时,maxx+2，x 2dx= C3，【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1，再对 x 求导，得 uxx(x，3x)+6u xy(x，3x)+9u yy(x，3x)=0.由 ，得 10uxx(x，
10、3x)+6uxy(x，3x)=0 ，u x(x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 uxx(x，3x)+3u xy(x，3x)=3x2，解得 uxy(x，3x)=【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 8【试题解析】 由 tln(1+t)= 由积分中值定理得 f(x， y)dxdy=f(，).t 2，其中( ，) D，于是2f(0， 0)=8【知识模块】 重积分12 【正确答案】 3e【试题解析】 令于是【知识模块】 级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令所以数列a n单调又因为 a1=1，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，
11、令则有【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 当 x0 时，由=a1+2a2+nan，且 根据极限保号性得 a1+2a2+nan1【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 将 t=0 代入 sint 1xt eu2 du=1xeu2 du=0 再由 eu2 0 得x=1sint 1xt eu2 du=0 两边对 t 求导得两边再对 t 求导得 将t=0，x=1， 2e2【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式 两式相减，得 S(2)S( 1)=一 8=S(1)+S( 2)
12、8当S( 1)S( 2)时，S( 1)4 ；当S( 1)S( 2)时， S(2)4【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+ 两式相加得 f(x)+f(x)2f(x 0)=f(x0)(xx 0)2+ f(4)(1)+f(4)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当x0 时，f(x)f(0)=f()x，从而 f(x)f(c)+x，因为由 f(x)在0，+)上连续，且f(0)=20， ，则 f(x)=0 在(0
13、，+)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= P(1)=f(1)则令 g(x)=f(x)P(x)，则g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)g(2)=0 ，所以存在 c1(0，1) ，c 2(1，2)，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g(d1)=g(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g()=0，而 g(
14、x)=f(x)2，所以f()=2【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令令 f(x)=0 得x=e当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大值点，于是 因为【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 因为 f(x)在a， b上单调增加，所以 ab(x)dx0，而故 abxf(x)dx abf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)当0a 1+S2=0a(axx
15、2)dx+a1(x2ax)dx= 令时，S 1+S2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时， a0(axx 2)dx+01(x2ax)dx=因为 所以 S(a)单调减少，故 a=0 时S1+S2 取最小值，而 S(0)S1+S2 最小【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 旋转体的体积为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由 z=(x2+y2)sec2(x+y)，得 z=esec2(x+y)ln(x2+y2)，【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 令【知识模块】 重积分27 【正确答案】 令 Sn=a1+a2+an，S n+1=(a1a 0)+2(a2a 1)+(n+1)(an+1a n)，则 Sn+1=(n+1)an+1S na 0，因为 (ana n1 )收敛且数列na n收敛，所以存在，根据级数收敛的定义，收敛【知识模块】 级数28 【正确答案】 级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(， +)令 =(2x2+1)ex21(x+)【知识模块】 级数29 【正确答案】 由(1)当 0 时，因为级数 收敛；(2)当 0 时，因为级数 发散【知识模块】 级数
