1、考研数学三（微积分）模拟试卷 198 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）f(a)（B） f(a)（C） 2f(a)（D） f(a)2 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值3 设 g(x)=0
2、xf(u)du，其中 则 g(x)在(0，2)内( ) （A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点4 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件，则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上5 设 D=(x， y)0x ， 0y，则 sinx siny.maxx，yd 等于( )6 设 则( )二、填空题7 =_8 设 在 x=0 处连续，则 a=_
3、9 设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则=_10 设xf(x)dx=arcsinx+c，则 =_11 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 设 证明：数列a n)有界14 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()15 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)一 2ex(x1) 2，研究函数f(x)在 x=1 处的可导性16 设
4、f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1)x 2f(x1)+(1)f(x 2)17 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数17 设函数 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=118 确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；19 求 f(x)；20 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性21 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得22 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令23 设 u=u(x，y)由方程组 u=(x，y，z，t) ，g(y，z，t)=0，h(z，t
5、)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且24 计算二重积分 x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线 (x2+y2)=a2(x2y 2)围成的区域25 设 a0=1，a 1=2，a 2= (n2)证明：当x1 时，幂级数 收敛，并求其和函数 S(z)26 设有微分方程 y2y=(x)，其中 在(，+) 求连续函数y(x)，使其在 (，1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=027 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件
6、 y(0)=0 的解28 某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 1 6 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学三（微积分）模拟试卷 198 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少， A 不对；f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，B
7、 不对；在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续，C不对；由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续选 C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有因为 M0 为最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有即 ACB 20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在
8、 D 内，选 B【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)0x，0yx，xsinxsinyd=20xsinxdx0xsinydy=20xsinx(1cosx)dx=20xsinxdx2 0xsinxcosxdx=0sinxdx 0xd(sin2x)= 选 B【知识模块】 重积分6 【正确答案】 B【试题解析】 显然收敛选 B【知识模块】 级数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 a=2【试题解析】 f(0)=f(00)=a，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=2【知识模块】 函数、极
9、限、连续9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由f(x)dx=arcdsinx+c 得【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 取 0=1，因为 根据极限定义，存在 N0，当 nN时，
10、有 a n A1，所以a n A+1 取M=maxa 1，a 2，a N，A+1，则对一切的 n，有a nM 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i)M(i=1，2，n)， 注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 k imkif(xi)kiM(i=1，2 ，n) ， 同向不等式相加，得 (k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即由介值定理，存在 a，b，使得 即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k
11、2+kn)f()【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以x1，得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 x0=x1+(1)x 2，则 x0a，b ，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+ (xx 0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0)，于是两式相加，得fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2ex a=0 令 f(x)=
12、x2ex a，由 f(x)=(2xx 2)ex =0 得 x=0，x=2 当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0， 于是 x=0 为极小值点，极小值为 f(0)=a0；x=2 为极大值点，极大值为 (1)当时，方程有三个根；(2)当 时，方程有两个根(3)当 时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 当 a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 因为=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续【
13、知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (x)=(x1) 2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x1)f(x)+(x1)f(x)，所以2(1)f()+(1) 2f()=0，整理得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(0)=f()x ，其中 介于 0 与 x 之间，因为 f(0)=0，所以f(x) = f()xMx ，x 0，a，从而 0af(x)dx 0af(x)
14、dx 0aMxdx=【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 根据对称性 (x2+y2)dxdy，其中 D1 是D 位于第一卦限的区域【知识模块】 重积分25 【正确答案】 由 得幂级数的收敛半径 R=1，所以当 x1 时，幂级数所以【知识模块】 级数26 【正确答案】 当 x1 时，y2y=2 的通解为 y=C1e2x1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x1
15、， 当 x1 时，y2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件， y(1+0)=C2e2=y(10)=e 21，解得 C2=1e 2 ，y=(1 一 e2 )e2x， 补充定义 y(1)=e21，则得在( ，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 代入原方程得y y=sinx，特征方程为 r21=0 ，特征根为 r1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y=acosx+bsinx，代入方程得 a=0， 于是方程的通解为 y=C1ex+C2ex sinx，由初始条件得 C1=1，C 2=1，满足初始条件的特解为 y=exe x sinx【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 200+1 6)，其中 为体重，根据题意得 (0)=0，由【知识模块】 常微分方程与差分方程
