1、考研数学三（微积分）模拟试卷 200 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sint dt，则 ( )（A）a= b=1，c=0（B） a= b=1，c=0（C） a= b=1，c=0（D）a 为任意常数， b=2，c=02 设 f(x)连续可导，g(x) 在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 非极值点，(0
2、，f(0) 非 y=f(x)的拐点3 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且又 f(x)=2x 2+0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)f(t)dt（B） 0xtf(t)+f(t)dt（C） 0xf(tx)dt（D） 0xf2(t)dt二、填空题5 =_6 若 f(x)=2
3、nx(1 一 x)n，记 =_7 _8 设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= 且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_9 微分方程 yxe y + =0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 其中 f(x)连续，求11 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点12 设 求 n，c 的值13 设 且 f(0)存在，求 a，b，c14 f(x)在 1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在(1 ，1)，使得 f()=314 设 f(x)在 a，a(a0)上有四阶
4、连续的导数， 存在15 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；16 证明：存在 1， 2a ，a，使得17 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)18 设 k 为常数，方程 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围19 f(x)在0，1上连续，f(0)=0 ， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()20 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf(x)2dx abf(x)2dx21 证明： 其中 a0 为常数22 设 z=z(x，y)满足23 计算24 设 f(x)在a
5、，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx225 讨论级数 的敛散性26 设u n)，c n)为正项数列，证明：(1)若对一切正整数 n 满足 cnunc n+1un+10，且也发散；(2)若对一切正整数 n 满足也收敛26 设函数 f0(x)在(，+)内连续，f n(x)=0xfn1 (t)dt(n=1，2，)27 证明：f n(x)= 0xf0(t)(xt) n1 dt(n=1，2，)；28 证明： 绝对收敛29 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0xf(tx)dt=3x+2 ，求 f(x)30 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0
6、，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 求 y=y(x)31 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10 s 时，速度等于 50 cms外力为 392cms 2，问运动开始 1 min 后的速度是多少?考研数学三（微积分）模拟试卷 200 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，所以显然 c=0，再由得 a 为任意常数，b=2，选D【知识模块】 函数、极限
7、、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由 0xg(xt)dt 0xg(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0xg(u)du，f(0)=0，因为所以 x=0 为 f(x)的极大值点，选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0，f(x)=2x 2+0xg(xt)dt=2x 2 0xg(xt)d(z t)=2x 2+0xg(u)du，f(x)=4x+g(x) ，f(0)=0 ，f(x)=4+g(x)，f(0)=40，因为所以存在 0，当0x 时， 从而当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)0，选 C【知识模块
8、】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t) f(t)为偶函数，所以 0xf(t)f(t)dt 为奇函数，A 不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，C 不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以 D 不对；令 F(x)=0xtf(t)+f(t)dt， F(x)= 0x tf(t)+f(t)dt= 0x(u)f(u)+f(u)(du)=F(x) ，选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 因为 eln2(1+x)1ln 2(1+x)x 2，【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 由 f(
9、x)=2n(1x) n2n 2x(1x) n1 =0 得【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由令 z=ey，则 所以原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 令所以存在X00，当 xX0 时，有 特别地，f(X 0)0，因为 f(x)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识
10、模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即由 f(x)在 x0 处可导，得b=1，即 由 f (0)存在，得 b=1，c=0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)( 10)+(10) 3， 1(1，0)，f(1)=f(0)+f(0)(10)+(10) 3， 2(0，1)，即两式相减得 f(1)+f(2)=6因为 f(x)在1，1 上三阶连续可导，所以 f(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最
11、大值 M，故 2mf(1)+f(1)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (1，1)，使得 f()=3【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 上式两边积分得 a af(x)dx= a af(4)()x4dx 因为 f(4)(x)在a ，a上为连续函数，所以 f(4)(x)在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有mx4f(4)()x4Mx4，两边在 a，a
12、 上积分得根据介值定理，存在 1a，a ，使得 f(4)(1)= aaf(x)dx，或 a5f(4)(1)=60a af(x)dx再由积分中值定理，存在 2a，a ，使得 a5f(4)(1)=60a af(x)dx=120af(2)，即 pa4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0)=1，(x)=ex f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 x(0，+)(1)若k0，由 所以原方程在(0
13、 ，+) 内恰有一个实根；(2)若 k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若 k0，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)f(x)=f(x)= acf(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(xa) abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dx
14、ab(xa)dx. abf2(x)dx=abf2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 重积分24 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)F(x)dx=F(b)abf(x)dx abf(x)F(x)dx=F2(b) abF(x)dF(x)【知识模块】 重积分25 【正确答案】 令收敛，由正项级数的比较审敛法得 收敛【知识模块】 级数26 【正确答案】 显然 为正项级数(1)因为对所有 n 满足cn
15、unc n+1un+10，于是 cnuncn+1n+1=cnunc 11n 0，从而也发散(2)因为对所有 n 满足则 cnunc n+1un+1aun+1，即 cnun(cn+1+a)un+1，所以于是 因为也收敛【知识模块】 级数【知识模块】 级数27 【正确答案】 n=1 时，f 1(x)=0xf0(t)dt，等式成立；设 n=k 时 fk(x)= 0xf0(t)(xt) k1 dt，则 n=k+1 时，由归纳法得 fn(x)= 0xf0(t)(xt) n1 dt(n=1，2，)【知识模块】 级数28 【正确答案】 对任意的 x( ，+) ，f 0(t)在0，x或x，0上连续，于是存在M
16、0(M 与 x 有关)，使得f 0(t)M(t 0，x或 tx，0)，于是因为绝对收敛【知识模块】 级数29 【正确答案】 0xf(tx)dt= 0x(tx)d(xt)= x0f(u)du= 0xf(u)du，则有 f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)3f(x)=3，其通解为 f(c)=C1ex+C2e3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 根据题意得令 y=p，则有因为 p(2)=0，所以 C1=0，故y=p= 进一步解得 因为 y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程31 【正确答案】 由题意得 因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以k=196，从而 分离变量得vdv=196tdt，所以 由 v t=10=50，得 C=8 550，于是【知识模块】 常微分方程与差分方程
