[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷200及答案与解析.doc

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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 200 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时,有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sint dt,则 ( )(A)a= b=1,c=0(B) a= b=1,c=0(C) a= b=1,c=0(D)a 为任意常数, b=2,c=02 设 f(x)连续可导,g(x) 在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f(x)=sin2x+ 0xg(xt)dt,则( )(A)x=0 为 f(x)的极大值点(B) x=0 为 f(x)的极小值点(C) (0,f(0)为 y=f(x)的拐点(D)x=0 非极值点,(0

2、,f(0) 非 y=f(x)的拐点3 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且又 f(x)=2x 2+0xg(xt)dt,则( )(A)x=0 是 f(x)的极大值点(B) x=0 是 f(x)的极小值点(C) (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(A) 0xtf(t)f(t)dt(B) 0xtf(t)+f(t)dt(C) 0xf(tx)dt(D) 0xf2(t)dt二、填空题5 =_6 若 f(x)=2

3、nx(1 一 x)n,记 =_7 _8 设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= 且 f(1)=4,则 01f(x)dx=_9 微分方程 yxe y + =0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 其中 f(x)连续,求11 设 f(x)在a,+)上连续, f(a)0,而 存在且大于零证明:f(x)在(a, +)内至少有一个零点12 设 求 n,c 的值13 设 且 f(0)存在,求 a,b,c14 f(x)在 1,1上三阶连续可导,且 f(1)=0,f(1)=1,f(0)=0证明:存在(1 ,1),使得 f()=314 设 f(x)在 a,a(a0)上有四阶

4、连续的导数, 存在15 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;16 证明:存在 1, 2a ,a,使得17 设 f(x)在0,+)内可导且 f(0)=1,f(x)f(x)(x 0)证明:f(x)e x(x0)18 设 k 为常数,方程 在(0,+)内恰有一根,求 k 的取值范围19 f(x)在0,1上连续,f(0)=0 , 01f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0f(x)dx=f()20 设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=0证明: abf(x)2dx abf(x)2dx21 证明: 其中 a0 为常数22 设 z=z(x,y)满足23 计算24 设 f(x)在a

5、,b上连续,证明: abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx225 讨论级数 的敛散性26 设u n),c n)为正项数列,证明:(1)若对一切正整数 n 满足 cnunc n+1un+10,且也发散;(2)若对一切正整数 n 满足也收敛26 设函数 f0(x)在(,+)内连续,f n(x)=0xfn1 (t)dt(n=1,2,)27 证明:f n(x)= 0xf0(t)(xt) n1 dt(n=1,2,);28 证明: 绝对收敛29 设 f(x)为偶函数,且满足 f(x)+2f(x)3 0xf(tx)dt=3x+2 ,求 f(x)30 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0

6、,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x, y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比,比例系数为 求 y=y(x)31 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质点的运动速度成反比,在 t=10 s 时,速度等于 50 cms外力为 392cms 2,问运动开始 1 min 后的速度是多少?考研数学三(微积分)模拟试卷 200 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt,所以显然 c=0,再由得 a 为任意常数,b=2,选D【知识模块】 函数、极限

7、、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由 0xg(xt)dt 0xg(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0xg(u)du,f(0)=0,因为所以 x=0 为 f(x)的极大值点,选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 g(0)=g(0)=0,f(0)=0,f(x)=2x 2+0xg(xt)dt=2x 2 0xg(xt)d(z t)=2x 2+0xg(u)du,f(x)=4x+g(x) ,f(0)=0 ,f(x)=4+g(x),f(0)=40,因为所以存在 0,当0x 时, 从而当 x(,0)时,f(x)0,当 x(0,)时,f(x)0,选 C【知识模块

8、】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t) f(t)为偶函数,所以 0xf(t)f(t)dt 为奇函数,A 不对;因为 f(t2)为偶函数,所以 0xf(t2)dt 为奇函数,C 不对;因为不确定 f2(t)的奇偶性,所以 D 不对;令 F(x)=0xtf(t)+f(t)dt, F(x)= 0x tf(t)+f(t)dt= 0x(u)f(u)+f(u)(du)=F(x) ,选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 因为 eln2(1+x)1ln 2(1+x)x 2,【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 由 f(

9、x)=2n(1x) n2n 2x(1x) n1 =0 得【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由令 z=ey,则 所以原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 令所以存在X00,当 xX0 时,有 特别地,f(X 0)0,因为 f(x)在a,X 0上连续,且 f(a)f(X0)0,所以存在 (a,X 0),使得 f()=0【知识

10、模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续,所以 c=0,即由 f(x)在 x0 处可导,得b=1,即 由 f (0)存在,得 b=1,c=0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)( 10)+(10) 3, 1(1,0),f(1)=f(0)+f(0)(10)+(10) 3, 2(0,1),即两式相减得 f(1)+f(2)=6因为 f(x)在1,1 上三阶连续可导,所以 f(x)在 1, 2上连续,由连续函数最值定理,f(x)在 1, 2上取到最小值 m 和最

11、大值 M,故 2mf(1)+f(1)2M,即 m3M由闭区间上连续函数介值定理,存在 1, 2 (1,1),使得 f()=3【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由 存在,得 f(0)=0,f(0)=0,f(0)=0 ,则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 上式两边积分得 a af(x)dx= a af(4)()x4dx 因为 f(4)(x)在a ,a上为连续函数,所以 f(4)(x)在a,a上取到最大值 M 和最小值 m,于是有mx4f(4)()x4Mx4,两边在 a,a

12、 上积分得根据介值定理,存在 1a,a ,使得 f(4)(1)= aaf(x)dx,或 a5f(4)(1)=60a af(x)dx再由积分中值定理,存在 2a,a ,使得 a5f(4)(1)=60a af(x)dx=120af(2),即 pa4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=ex f(x),则 (x)在0,+)内可导,又 (0)=1,(x)=ex f(x)f(x)0(x0),所以当 x0 时,(x)(0)=1,所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 x(0,+)(1)若k0,由 所以原方程在(0

13、 ,+) 内恰有一个实根;(2)若 k=0,所以原方程也恰有一个实根;(3)若 k0,【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 ,因为 f(x)在0,1上连续,所以 (x)在0,1上连续,在(0,1) 内可导,又 (0)=0,(1)= 01f(x)dx=0,由罗尔定理,存在 (0,1),使得 ()=0,而 所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由 f(a)=0,得 f(x)f(x)=f(x)= acf(t)dt,由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(xa) abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dx

14、ab(xa)dx. abf2(x)dx=abf2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 重积分24 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt,则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)F(x)dx=F(b)abf(x)dx abf(x)F(x)dx=F2(b) abF(x)dF(x)【知识模块】 重积分25 【正确答案】 令收敛,由正项级数的比较审敛法得 收敛【知识模块】 级数26 【正确答案】 显然 为正项级数(1)因为对所有 n 满足cn

15、unc n+1un+10,于是 cnuncn+1n+1=cnunc 11n 0,从而也发散(2)因为对所有 n 满足则 cnunc n+1un+1aun+1,即 cnun(cn+1+a)un+1,所以于是 因为也收敛【知识模块】 级数【知识模块】 级数27 【正确答案】 n=1 时,f 1(x)=0xf0(t)dt,等式成立;设 n=k 时 fk(x)= 0xf0(t)(xt) k1 dt,则 n=k+1 时,由归纳法得 fn(x)= 0xf0(t)(xt) n1 dt(n=1,2,)【知识模块】 级数28 【正确答案】 对任意的 x( ,+) ,f 0(t)在0,x或x,0上连续,于是存在M

16、0(M 与 x 有关),使得f 0(t)M(t 0,x或 tx,0),于是因为绝对收敛【知识模块】 级数29 【正确答案】 0xf(tx)dt= 0x(tx)d(xt)= x0f(u)du= 0xf(u)du,则有 f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2,因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)是奇函数,于是 f(0)=0,代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)3f(x)=3,其通解为 f(c)=C1ex+C2e3x +1,将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 根据题意得令 y=p,则有因为 p(2)=0,所以 C1=0,故y=p= 进一步解得 因为 y(0)=2,所以 C2=0,故曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程31 【正确答案】 由题意得 因为当 t=10 时,v=50,F=392,所以k=196,从而 分离变量得vdv=196tdt,所以 由 v t=10=50,得 C=8 550,于是【知识模块】 常微分方程与差分方程

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