1、考研数学三（微积分）模拟试卷 205 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在函数中当 x0时极限 f(x)不存在的是（A）（B） （C） （D） 2 极限（A）等于 （B）等于 （C）等于 e-6（D）不存在3 设 =（A）2（B） 4（C） 6（D）84 设 f(x)在 x=a 连续，(x)在 x=a 间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 处间断（D） 在 x=a 处间断5 “f(x)在点 a 连续”是f(x) 在点 a 处连续的( )条件（A）必要非充分（B）充分非必
2、要（C）充分必要（D）既非充分又非必要6 设数列x n，y n满足 xnyn=0，则下列正确的是（A）若x n发散，则y n必发散（B）若 xn无界，则y n必有界（C）若 xn有界，则y n必为无穷小（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小二、填空题7 设 K，L ， 为正的常数，则 =_8 设 f(x)= 在 x=0 连续，则常数 a 与 b 满足的关系是_9 1+x2 一 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)10 已知 =_11 =_12 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求下列极限：13 14 ，t 为常数；15 15 求下列极限：16 17 18 19
3、19 求下列极限：20 21 (a，b，c 为正的常数)；22 23 23 求下列极限：24 25 26 27 27 求下列极限：28 (a1 0，a 20)；29 30 设 f(x)具有连续导数，且 f(0)=0，f(0)=6，求 w= f(t)dt 0xf(t)dt3考研数学三（微积分）模拟试卷 205 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于：取 xn= ，则均有 xn0，y n0(n)，但 不存在对于：已知 f(x)=，其中 g(x)=0sinxcost2dt，由于综上分析，应选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案
4、】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 反证法若 在 x=a 连续，由连续函数的四则运算法则可得(x)= f(x)必在 x=a 连续，与假设 (x)在 x=a 间断矛盾，从而 必在x=a 间断故选 D 也可用举例法来否定 A，B，(C)三个选项例如：设 f(x)1， (x)= 则 f(x)在(，+) 连续， (x)在 x=0 间断，但 f(x)1( x(一，+)成立， f(x)1( x(一，+)成立， 2(x)1( x(一，+) 成立这表明不应选 A，B，C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【
5、试题解析】 由f(x)f(a) f(x)一 f(a)可知当 f(x)在 x=a 连续可推知f(x)在 x=a 连续；而由 f(x)= x(，+)成立，从而f(x)在 x=a 连续，但 f(x)却在 x=a 间断 以上讨论表明“f(x)在点 a连续”是f(x)在点 a 处连续的充分非必要的条件应选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件高阶的无穷小量，即 D 正确 也可用举例法来否定 A，B，(C)三个选项 例如：设xn=n，y n=0(n=1，2，3，)，于是x n发散，且 xnyn=0，但y n收致这表明A 不正确 设xn= xnyn=0，但y n也无界这表明 B
6、 不正确 设 xn=xnyn=0，但y n并非无穷小量。这表明 C 不正确【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 K L1【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 a=b【试题解析】 对任何常数 a 和 b，f(x)分别在(一，0，(0 ，+)连续，且 f(0)=a， f+(0)=b 故 f(x)在 x=0 连续 f(0)=f +(0) a=b【知识模块】 微积分9 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 注意，当 a1 时 a=+，当 0 a1 时 an=0从而【知识模块】 微
7、积分12 【正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 或用等价无穷小因子替换，得 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设 J=型未定式用洛必达法则计算可得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19
8、【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 故原极限=a 一 a=0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 属 1型极限原极限=e J，而【知识模块】 微积分22 【正确答案】 故原极限=e -2【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于型未定式用洛必达法则，得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 本题是一 型未定式，提出无穷大因子 x2 后作变量替换 x= ，可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 用当 x0 时的等价无穷小替换 ex 一 1x 与 ln(1+x)x 化简所求极限【知识模块】 微积分27 【正确答案】 转化为适当的函数极限令 f(x)= ，则设 xn= xn=0 且 xn0(n=1，2，3，)又【知识模块】 微积分28 【正确答案】 只需再求 a1=a2 的情形：【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设常数 a0，先求 =t，于是 t=0，由等价无穷小关系，得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 f(0)=0，f(0)=6 可得 =f(0)=6，从而 这表明当 x0 时 0xf(t)dt3x 2，由此又有当x0 时 f(t)dt3(x 3)2=3x6，故【知识模块】 微积分
