1、考研数学三（微积分）模拟试卷 206 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=xsinx（A）在(一 ，+)内有界（B）当 x 时为无穷大（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有极限2 函数 f(x)= 在下列哪个区间内有界（A）(一 1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)3 若当 x时， ，则 a，b ，c 的值一定为（A）a=0 ，b=1，c 为任意常数（B） a=0，b=1，c=1（C） a0，b，c 为任意常数（D）a=1 ，b=1，c=04 设 f(x)= ，则下列结论错误的是（A）x=1，x=0 ，x=一 1
2、 为间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=一 1 为无穷间断点（D）x=0 为跳跃间断点5 把当 x0 +时的无穷小量 =tanx 一 x，= 0x(1 一 cos 一 1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），6 在 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、填空题7 若 =_8 aretan(xlnxsinx)= _9 xsinx=_10 =_11 设 f(x)连续，且 =_12 设 =4，则 a=_，b=_。13 函数 f(x)= 的连续区间是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x
3、)= ，求常数 A 与 k 使得当 x0 时 f(x)与 Axk 是等价无穷小量14 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：15 y=(1+x)arctan ；16 17 18 y=fg(x)，其中 f(x)=19 已知 =2，求常数 a0 和 b 的值20 设 (x-3sin3x+ax-2 一 2+b)=0，试确定常数 a，b 的值21 设 =a0，求 n 及 a 的值22 求证：e x+e-x+2cosx=5 恰有两个根23 设常数 a bc ，求证：方程 =0 在区间(a，b)与(b，c)内各有且仅有一个实根24 设 f(x)在a，b上连续，且 ac db求证：存在 (a，b)，使pf
4、(c)+qf(d)=(p+q)f()，其中 p0，q0 为任意常数25 已知数列x 满足：x 0=25，x n=arctanxn1(n=1，2，3，)，证明x n的极限存在，并求其极限26 设数列x n由递推公式 xn= (n=1，2，)确定，其中 a0 为常数，x0 是任意正数，试证 xn 存在，并求此极限考研数学三（微积分）模拟试卷 206 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 xn=n(n=1，2，3，)，则 f(xn)=0(n=1，2，3，)； 设 yn=2n+(n=1，2， 3，) ，则 f(yn)=2n+ (n
5、=1，2，3，)这表明结论 A，B，(D)都不正确，而 C 正确【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 注意当 x(一 1，0) 时有这表明f(x)在(一 1，0)内有界故应选 A 也可以计算极限： 故 f(x)在区间(0，1)，(1，2)，(2，3) 内都是无界的【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 a0，b 与 c 任意故应选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 计算可得 由于 f(0+0)与 f(00)存在但不相等，故 x=0 不是 f(x)的可去间断点应选 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 +时 是比
6、高阶的无穷小量， 与 应排列为 ， 故可排除(A)与(D)即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除(B) ，即应选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即选 D【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 x 一 lnxsinx=x(1 一sinx0，x 一lnxsinx+，于是【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限
7、=1 即得 =11=1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 6【试题解析】 由积分中值定理知存在 x，x+2，可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 ，1【试题解析】 利用洛必达法则可得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 5【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待 注意到 x=0 为分界点因为又 f(0)=3，因此 f(x)=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续 此外，由于函数 f(x)在点 x
8、=1处无定义，因此 x=1 为 f(x)的间断点于是所给函数 f(x)的连续区间为(一，1)(1，+)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 故当 x0 时，f(x)的等价无穷小量是 ，k=2 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 y=(1+x)arctan 的定义域为(一，一 1)(一 1，1) (1，+)，由初等函数连续性知 y 分别在(一，一 1)，(一 1，1)，(1，+)内连续因(1+x)=2，故从而 x=一 1 与 x=1 都是函数的第一类间断点，其中 x=一 1 是函数的可去间断点，x=1 是函数的跳跃间断点
9、【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因=1，显然 x=一 1 与 x=1 都是函数的第一类(跳跃) 间断点【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由初等函数的连续性及 y 的定义可知，y 分别在一 1，0)与(0，+) 连续又因故 y 仅有 x=0 为第一类(可去)间断点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域：当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，x2=1从而 x=1是 fg(x)的第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 方法一
10、 题目中的极限式可改写为由此即知 9 一a=0，2=一 =一 12 方法二 原式可改写成=2由于上式成立，所以必有 3 一 =0，即 a=9将a=9 代入原式，并有理化得令一 =2 得 b=一 12故 a=9，b= 一 12【试题解析】 已知此型未定式的极限存在且等于 2，要确定极限式中的参数a 与 b 有两种方法：方法 1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法 2 先提出因子，将 型化为0 型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由题设知这表明 3+a=0a=一 3 将 a=一 3 代入(*)式，即得【知识模块】 微积分21 【
11、正确答案】 由此可知 n=2，a=一 2e2【知识模块】 微积分22 【正确答案】 引入函数 f(x)=ex+e-x+2cosx 一 5，则 f(x)是(一，+)上的连续偶函数，且 f(0)=一 10，f(x)=e xe-x 一 2sinx，从而 f(0)=0又 f“(x)=ex+e-x 一2cosx=( )2+2(1 一 cosx)0( x0)成立，由此可见 f(x)当 x0 时单调增加，于是 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立这表明 f(x)在 x0 是单调增加的注意 f()=e+e-一 72 3 一 7=10，故根据闭区间上连续函数的性质可知 f(x)=0 在(0，)内至少有一个根，
12、结合 f(x)在 x0 严格单调增加可知 f(x)=0 有且仅有一个正根由f(x)为(一，+)上偶函数，f(x)=0 还有且仅有一个负根故方程 ex+e-x+2cosx=5 恰有两个根。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设函数 f(x)= ，则 f(x)的零点就是方程=0 的根因函数 f(x)分别在区间 (a，b)与(b，c)内可导，且这表明在区间(a，b)内 f(x)的函数值从+单调减少到一 ，在区间(b ，c) 内 f(x)的函数值也从+单调减少到一，故 f(x)分别在(a ，b)与(b， c)内有且仅有一个零点即方程=0 分别在(a ，b)与(b，c)内有且仅有一个实根【知识模块】
13、 微积分24 【正确答案】 利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题由 f(x)在a ，b上连续，而c，d a，b，可知 f(x)在c ，d 上连续，于是存在 m=f(x)，从而即 是 f(x)在c，d上的值域m，M上的一个值 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在 c，d (a，b) 使 f()=，即 pf(c)+gf(d)=(p+q)f()成立【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 f(x)=arctanxx，则 f(0)=0，所以 f(x)单调减少，当 x0 时 f(x)f(0)=0，即 arctanxx，于是有 x n=arctanxn1x n1由此可知，数列x n单调递减 又 x0=25，x 1=arctan250，且对每个 n，都有 xn0，根据极限存在准则即知xn 存在 设 xn=a，在 xn=arctanxn 两边取极限得 a=arctana，所以 a=0，即xn=0【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因 a0 ，菇 x00，由 xn 的递推式知 xn0又由算术平均值不小于几何平均值知 再由 1(n=1，2，3，) 知数列x n单调递减且有下界xn 存在，设为 l 在 xn= 两边令 n 取极限，得 l=，又据 l0 可解得 l= 。【知识模块】 微积分
