1、考研数学三（微积分）模拟试卷 207 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=xn 的某邻域内有定义，在 x=xn 的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是（A）若 f(x)=A，则 f(x0)存在且等于 A（B）若 f(x0)存在且等于 A，则 f(x)=A（C）若 f(x)=，则 f(x0)不存在（D）若 f(x0)不存在，则 f(x)=2 在命题 若 f(x)在 x=a 处连续，且f(x) 在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在 x=a 处必可导，
2、若 (x)在x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在 x=a 处必不可导， 若 f(x)在 x=a 处连续，且 存在，则 f(x)在 x=a 处必可导 中正确的是（A） （B） （C） （D） 3 设 f(x)在任意点 x0(一 2，+) 有定义，且 f(一 1)=1，a 为常数，若对任意x，x 0(一 2，+)满足 f(x)一 f(x0)= +a(x 一 x0)2，则函数 f(x)在(一 2，+)内（A）连续，但不一定可微（B）可微，且 f(x)= （C）可微，且 f(x)= （D）可微，且 f(x)= 二、填空题4 设 f(x)= ，则 f(1)=_5 设 f(x)=esinx
3、，则 =_6 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_7 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则参数 的取值范围为_8 设 f(t)= ，则 f(t)=_9 设 y=y(x)由万程 y=1+xexy 确定，则 dy x=0=_，y x=0=_10 设 y=sinx2，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算下列各题：11 12 13 y=esinx，求 dy14 y= ，求 y，其中 ab014 计算下列各题：15 由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 16 方程 y-yey=1 确定 y=y(x)，求 y“17 设 2xtan(x 一
4、 y)=0xysec2tdt(xy)，求 18 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)19 设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时， f(x)0，已知 f(x)=0，f(0)=20 设 f(x)= 求 a，b，c 的值，使 f“(0)存在21 设 f(x)= 试确定常数 a，b 的值，使函数 f(x)在 x=0 处可导22 曲线 y= 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?23 求函数 y= 的单调区间，极值点及其图形的
5、凹凸区间与拐点24 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点25 设 f(x)的定义域为1， +)，f(x) 在1，+)可积，并且满足方程 f(x)= 1+f(x)dx。 讨论 f(x)的单调性26 求 a 的范围，使函数 f(x)=x3+3ax2 一 ax 一 1 既无极大值又无极小值27 设 f(x)= ，求 f(x)的极值27 设 f(x)=28 求 f(x)；29 证明：x=0 是 f(x)的极大值点；30 令 xn= ，考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；31 证明：对 0，f(x)在(一 ，0 上不单
6、调上升，在0，上不单调下降考研数学三（微积分）模拟试卷 207 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解答本题的关键是将 f(x0)的定义式与 f(x)联系来考虑 对于(A)：取 f(x)= f(x)=0，但 f(x)在 x=x0 处不连续，从而 f(x0)不存在故(A)不对，同时也说明(D) 不对 对于(B)：取 f(x)=显然 f(0)存在，但 f(x)不存在故(B)也不对 由排除法可知，应选 C 或直接证明 C 正确反证法：假设 f(x0)存在，则 f(x)在 x=x0 处连续，那么在 f(x)=条件下，由洛必达法则有
7、f(x 0)= f(x)=，矛盾，所以 f(x0)不存在【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 是正确的设 f(a)0，不妨设 f(a)0，由于 f(x)在 x=a 处连续，故存在 0，当 x(a 一 ，a+)时 f(x)0，于是在此区间上 f(x)f(x)，故f(a)=f(x) x=a 存在若 f(a)0 可类似证明 若 f(a)=0，则所以由夹逼定理得 f(a)= =0 是正确的因为 =(a)，所以 f(a)=(a) 是错误的由正确即知是错误的无妨取反例： (x)=x2，则 f(x)=(x 一 a)(x)=(x 一 a)x2， =a2，即 f(x)在 x=a 处可导 也不正确
8、可取反例：f(x)= x，显然 f(x)在 x=0 处不可导，但 存在综上分析，应选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设增量等式应得到 f(x)在 x=x0 处可导，而 x0 又是(一 2，+)内任意一点，于是 f(x)在(一 2，+) 内处处可导，且 f(x)=一 ，积分得 f(x)=一ln(2+x)+lnC=ln ，再由 f(一 1)=1，即得 lnC=1，解得 C=e所以在(一 2，+)内有表达式 f(x)=ln 故应选 D【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值
9、，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项 tan 一1=0，而其余所有项都不等于 0记 g(x)=【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 根据导数定义所以，所求极限为一(e sinx) x=1=一(cosx)e sinx x=1= 或把函数代入用洛必达法则求极限【知识模块】 微积分6 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成原式=f(1)+2f(1)+6f(1)=9f(1)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 (3，+)【试题解析】 由导数定义可求得 上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x
10、=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足 3 因此，参数 的取值范围为(3，+)(当 13 时 (x)不存在)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 先求出 f(t)，再求 f(t)由于所以 f(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1，2【试题解析】 根据隐函数微分法有 dy=e xydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy) 由y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx 另外，由隐函数求导法则得到 y=exy+xexy(y+xy) 两边再次关于 x 求导一次，得到 y“=e xy(x2
11、y“+2xy+xy+y)+exy(x2y+xy+1)(xy+y)， 再次令 x=0，y(0)=1，由 式得到 y(0)=1，由式得到y“(0)=2【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 设 u=x3，则 x= ，于是由复合函数求导法则即得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 用对数求导法因 lny= ln(x2+2)；两边对 x 求导数得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 dy=d(e xsinx)=exsinxd(xsin
12、x)=exsinxsinxdx+xd(sinx) =exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因 xy=yx ylnx=xlny ，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因 y-xey=1 e y=yx y=xlny 将恒等式两边对 x 求导数，得 y=lny+ y (*)可解得 y= 将(*) 两边再对 x 求导数，可得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因 2xtan(x 一 y)=0xysec
13、2tdt=tan(xy) x=tan(x y)将恒等式两边对 x 求导数，得 1= (1y)1 y=cos2(xy)y=sin 2(xy)将上式两端再对 x 求导，又得 y“=2sin(x 一 y)cos(x 一 y)(1 一 y)=sin2(x 一y)cos 2(xy)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y=0，或 f“(x)g(y)+f(x)2g
14、“(y)=0注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g“(3)=一 f“(a)g(3)=一 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所求极限为 1型，设法利用重要极限，并与导数 f(0)的定义相联系由于 因此，由复合函数的极限运算性质，只需考虑极限 由于 f(0)=0，f(0)= 存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有【知识模块】 微积分20 【正确答案】 为使 f“(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0 处连续由 f(x)的连续性，有 c=f(0)= ln(1+x)=ln1=0由 f(x)在 x=0 处的连续性，有从而可得 b=1 欲使 f“(0
15、)存在，需 f“(0)=f“+(0)又 f“ +(0)=ln(1+x x=0=1， f“ -(0)=(ax2+bx+c)“ x=0=2a，所以 2a=一1，a=一 最后得 a=一 ，b=1 ，c=0 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于 f(0)=f(0+0)=9arctanx+2b(x 一 1)3 x=0=一 2b， f(0 一 0)=(sinx+2aex)=2a，故当一 2b=2a，即 a=一 b 时，f(x)在 x=0 处连续 当 a=一 b 时有令 f-(o)=f+(0)，得 1+2a=9+6b，与 a=一 b 联立可解得 a=1，b=一 1 综上所述，当a=1，b=一 1 时
16、 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=3【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 y= 处的切线方程为切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(3a，0)和 B(0，)，于是，AOB 的面积为 S= ，当切点沿 x 轴正方向趋于无穷远时，有 S=+；当切点沿 y 轴正方向趋于无穷远时，有 S=0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 函数 y= 的定义域是(一，1)(1 ，+) ，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 x=一 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：故函数的单调减少区间为(一，0(1，+)；单调增加区间为0，1)；极小值
17、点为x=0函数图形的凸区间为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 f(x)=3ax 2+2x，f(0)=0，f(一 1)=3a 一 2=0，从而 a= ，于是 f(x)=2x2+2x，f“(x)=4x+2令 f“(x)=0，得 x=一 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(一，一 1)(0，+) 内单调增加，在(一 1，0)内单调减少；极大值 f(一 1)= ，极小值 f(0)=2；拐点为(一 )【知识模块】 微积分25 【正确答案】 首先确定 f(x)的表达式，由题设 f(x)在1 ，+) 可积，于是可设1+f(x)dx=A，代入即得【知识模块】 微积分26 【
18、正确答案】 f(x)=3x 2+6ax 一 a， 当 =36a 2+12a0 时，f(x)无驻点，即 f(x)无极值点 当 =36a 2+12a=0，即 a=一 或 a=0 时，f(x)=3(x 一 )2 或 f(x)=3x2，此时所对应的函数分别为 f(x)=(x 一 )2+c1 或 f(x)=x3+c2，由此可知其无极值点 当 0 时，f(x)有两个驻点，且为极值点 所以当一 a0 时，函数 f(x)无极值【知识模块】 微积分27 【正确答案】 f(x)=0 的点及 f(x)不存在的点都可能是极值点，为此先求f(x)当 x0 时，f(x)=(x 2x)=(e2xlnx)=e2xlnx(2l
19、nx+2_)=2x2x(lnx+1)；当 x0 时，f(x)=(x+2)=1又 所以 f(x)在点 x=0 处不连续，从而不可导，于是 令 f(x)=0，得驻点 x=是可能的极值点 在点 x=时f(x)0，当 x 时 f(x)0，所以 x= 为 f(x)的极小值点，极小值为 f( )=e-2/e 在点 x=0 处：由于当 x0 时 f(x)=10，所以 f(x)单调增加，从而 f(x)f(0)=2；而当0x ，存在 0，当 0x 时f(x) 一1 2=f(0)，故由极值的定义可知 x=0 为 f(x)的极大值点，极大值为 f(0)=2【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分28 【正确答案】 当 x0 时按求导法则得当 x=0时按导数定义得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由于 f(x)f(0)=一 x2(2+sin )0(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点【知识模块】 微积分30 【正确答案】 令 xn= (n=1，2，3，)，则 sin =(一 1)n，于是 f(x n)=【知识模块】 微积分31 【正确答案】 对 负奇数且n充分大时 xn(一 ，0) ，f(x n)0f(x)在( 一 ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0，)，f(x n)0f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 微积分
