1、考研数学三（微积分）模拟试卷 208 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若极限 =A，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f-(a)=A（D）可导，且 f(a)=A2 设有多项式 P(x)=x+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P 0(x0)03 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题4 设
2、y=cos3 =_5 设 y= =_6 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_7 设 y=arctanx则 y(4)(0)=_8 f(x)= 的极大值点是 x=_，极小值点是x=_9 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 y=f(x)= ，讨论 f(x)的连续性，并求其单调区间、极值与渐近线11 求曲线 y= (x0) 的渐近线12 求函数 F(x)=01(1 一 t)x 一 tdt (0x1)的凹凸区间13 证明：arctanx=arcsin (x(一 ，+)14 设 f
3、(x)=2x3+3x212x+k，讨论 k 的取值对函数零点个数的影响15 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围16 设 f(x)在a，+)上连续，在 (a，+)内可导，且 f(x)=f(a)求证：存在(a， +)，使 f()=017 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0求证：如果 f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在 (0，1)，使得 f()f()0 18 设 p(x)在区间 0，+)上连续且为负值y=y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内满足 y+p(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加19 证明
4、：x 一102* 0) 20 设 x(0，1)，证明不等式 xln(1+x)+arctanx 2x21 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一 ，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1)2f(x)，证明存在 x0(2，)使得 F“(x。)=022 设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，6)使得 f()= f()23 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少存在一个 c，使得=f(c)一 f(c)24 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二次可导，且
5、f(a)=f(b)=0，0求证：存在 (a，b)，使 f“()025 设 f(x)在a，+)有连续导数，且 f(x)k0 在(a，+)上成立，又 f(a)0，其中 k 是一个常数求证：方程 f(x)=0 在(a，a 一 )内有且仅有一个实根26 设 f(x)在 x=0 的桌邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证：27 设 a0。试确定方程 e2x=ax2 实根的个数及每个根所在的区间考研数学三（微积分）模拟试卷 208 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限 存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧
6、导数都不一定存在，应选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 反证法设 x0 是 P(x)=0 的最大实根，且 P(x0)0 0 使 0x一 x0 时 P(x)0，又 P(x)=+，由此可见 P(x)在区间x 0+ ，+ 必由取负值变为取正值，于是 x1x 0，使 P(x1)=0，与 x=x0 是 P(x)=0 的最大实根矛盾故应选 D 另外，该题也可以通过 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 的图形来进行判定4次函数与 x 轴的交点有如下四种情况，由此可知 P(x0)0【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因 3x2 在(一，+)具有任意阶导数
7、，所以 f(x)与函数 g(x)=x2x具有相同最高阶数的导数因 从而 g(x)=且 g+(0)=0，g -(0)=0综合即得 g(x)= 类似可得 g“(x)= 且 g“+(0)=0， g“ -(0)=0综合即得 g“(0)存在且等于 0，于是 g“(x)= g“(x)=6x 由于 g“(x)在 x=0 不可导，从而 g(x)存在的最高阶导数的阶数 n=2，即 f(x)存在的最高阶导数的阶数也是 n=2故应选C【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设y=u3，u=cosv ，v= ，利用复合函数求导法则即得【知识模块】 微积分
8、5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 (2n 一 1)!f2n+1(x)【试题解析】 用归纳法由 f(x)=f3(x)=1f 3(x)求导得 f“(x)=13f 2(x)f(x)=1 3f5(x)，再求导又得 f“(x)=135f 4(x)f(x)=135f 7(x)，由此可猜想 f (n)(x)=1 3(2n 一 1)f2n+1(x)=(2n 一 1)!f2n+1(x)(n=1，2，3，) 设 n=k 上述公式成立，则有 f (k+1)(x)=f(k)(x)=(2k 一 1)!f2k+1(x) =(2k 一 1)!(2k+1)f2k(x)f(x)=(2k+1)
9、!f2k+3(x)， 由上述讨论可知当 n=1，2，3，时 f (n)(x)=(2n 一 1)!f2n+1(x)成立【知识模块】 微积分7 【正确答案】 0【试题解析】 因 y=arctanx 是奇函数，且 y 具有任何阶连续导数，从而 y，y“是偶函数，y“，y (4)是奇函数，故 y(4)(0)=0【知识模块】 微积分8 【正确答案】 x=0，x=【试题解析】 由 f(x)的定义可知，当 x0 时 f(x)=2xlnx+x 2 =x(2lnx+1) ，又 f-(0)= xlnxx=0，即 f(0)=0从而 这表明 f(x)有三个驻点x1=一 列表讨论 f(x)的单调性如下：即 x=0 是
10、f(x)的极大值点， z= 是 f(x)的极小值点【知识模块】 微积分9 【正确答案】 一(n+1)为 f(n)(x)，一 e-(n+1)【试题解析】 由归纳法可求得 f(n)(x)=(n+x)ex，由 f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0 得 f(n)(x)的驻点 x=一(n+1)因为 f (n+2)(x) 0，所以 x0=一(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，且极小值为 f(n)(x0)=一 e-(n+1)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 =0，而 f(0)=0，所以f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为
11、初等函数，所以连续 因此 f(x)在0，+)上连续 因为 x0 时 f(x)= ，令 f(x)=0，解得驻点为x=e因 0，故当 0xe 时 f(x)0；当 xe 时 f(x)0，所以 f(x)在(0，e)上严格增加，在(e，+)上严格减少由上述 f(x)的单调性得 f(e)= 为极大值，无极小值由于 所以 y=f(x)有水平渐近线y=1【知识模块】 微积分11 【正确答案】 设渐近线方程为 y=kx+b，则令 t= ，并应用洛必达法则即得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因当 0x1 时， F(x)= 01(1 一 t)x 一 tdt= 0x(1 一 t)(x 一 t)dt+x1(1
12、一 t)(t 一 x)dt =x0x(1 一 t)dt0x(1 一 t)tdt+x1t(1 一 t)dt 一 xx1(1 一 t)dt从而 F(x)= 0x(1t)dt+x(1 一 x)一(1x)x 一 x(1x)一 x1(1 一 t)dt+x(1 一 x) =0x(1 一 t)dt 一 x1(1 一 t)dt， F“(x)=1 一 x+(1 一 x)=2(1 一 x)0， x(0，1)由 F(x)在0，1上连续，在(0，1) 内 F“(x)0，故区间0，1上 y=F(x)的图像是凹弧【知识模块】 微积分13 【正确答案】 引入函数 f(x)=arctanxarcsin ，则 f(x)在(一，
13、+)上具有连续导数，且 f(0)=0，又从而当x(一，+)时 f(x)f(0)=0，即 arctanx=arcsin x(一，+) 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 f(x)=6x 2+6x 一 12=6(x+2)(x 一 1)，由 f(x)=0 得驻点 x1=一2，x 2=1，且 f(一 2)为极大值，f(1)为极小值又 f(x)=+，函数的单调性与极值如下表：要使 f(x)只有一个零点，则需极大值小于零或极小值大于零，即 f(一 2)=一16+12+24+k0k一 20；或 f(1)=2+3 12+k0 k7 故当 k一 20 或k7 时，f(x)只有一个零点；当 k=一 20 或
14、k=7 时，f(x)有两个零点；当一20k7 时，f(x)有三个零点【知识模块】 微积分15 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 一 1(x0)，则 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0，由 f(x)=0，得 x=是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当 时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根 因此，k 的取值范围为 k0 及 k= 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 若 f(x)f(a)，则结论显然成立下设 f(x) x0a，使得 f(x0)f(a)为确定起见，无妨设 f(x0)f(a)( 否则用
15、一 f(x)代替 f(x)进行讨论) 令 m= f(a)+f(x0)，则 f(a)mf(x 0)由 f(x)在a，x 0上连续知， (a，x 0)，使f()=m 又因 f(x)=f(a)m，从而 x1x 0，使 f(x0)m ，由 f(x)在x 0，x 1上连续，且 f(x0)mf(x 1)知， (x0，x 1)，使 f()=m 综合可得，f(x) 在区间 ，上连续且可导，又 f()=f()，故由罗尔定理可知， (a，+)，使得f()=0【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因 f()f()0 f2(x) x= 0，结合 f(0)=0，故只需考 f2(x)是否在(0 ，1上有取正值的点 因
16、f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在x0(0，1)使 f(x0)0，即 f2(x0)0设 F(x)= f(x)，则 F(x)在0，x 0上连续，在(0，x 0内可导，且 F(0)=0，F(x 0)0由拉格朗日中值定理知(0，1) ，使 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因 y+p(x)y0 y+p(x)y0 设 F(x)=y(x) ，则 F(x)0 当 x0 时成立，故 F(x)当 x0 时单调增加，即 x0 有 F(x)F(0)=y(0)0x0) 设 x2x 10，由 F(x)单调增加F(x 2)F(x 1) 由于y(x1)0， y(x 1)，代入即得 y(x 2)y(x 1)
17、 ( x2 x10)这表明 y(x)当 x0 时单调增加【知识模块】 微积分19 【正确答案】 首先证明：当 x0 时 ln(1+x)x ln(1+x)一 x0 引入函数f(x)=ln(1+x)一 x，f(x)在0，+) 可导，且 f(0)=0， f(x)= x0)从而 f(x)在0，+) 上单调减少， x0 必有f(x)f(0)=0 ，即当 x0 时 ln(1+x)x 成立 其次证明：当 x0 时 x 一x2ln(1+x) ln(1+x)一 x+ 0引入函数 g(x)=ln(1+x)一 x+ ，g(x)在0，+) 上可导，且 g(0)=0，g(x)= x0)从而 g(x)在0，+)上单调增加
18、，x0 必有 g(x)g(0)=0即当 x0 时 x 一 x1ln(1+x)成立 综合即得ln(1+x)x【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 x(0，1) ，所以欲证不等式可等价变形为令 f(x)=ln(1+x)+arctanx，则 f(0)=0由于对x(0，1)，f(x)在0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有其中 (0，x)在0，1上的连续性与单调性可得故欲证不等式成立【知识模块】 微积分21 【正确答案】 显然 F(0)=F( )=o，于是由罗尔定理知，存在 x1(0， )，使得F(x1)=0又 F(x)=2(sinx 一 1)f(x)+(sinx1)2f(x)， 对 F(
19、x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x0*(x1， )，使得 F“(x0*)=0 注意到 F(x)以2 为周期，F(x) 与 F“(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是存在 x0=2+x0*，即x0(2， )，使得 F“(x 0)=F“(x0*)=0【试题解析】 首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明存在 x0*0， )，使得 F“(x0*)=0 即可【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使 令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， (a，b)
20、，使 将 式代入式，即得 f()=(a+b) 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 注意 当0x 1x 2 时，在区间x 1，x 2上对函数 F(x)=e-xf(x)与 G(x)=e-x 用柯西中值定理知，c(x1，x 2)，使得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由罗尔定理知 (a，b) 使 f()=0又由0因 f(x)在a，上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 (a，)，使 最后，因 f(x)在区间， 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (a，b)，使【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因 f(x)在区间a ，a 一 上漓足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理由于f(x)在区间
21、a ，a 一 0，由连续函数的介值定理知，使 f()=0，又由 f(x)0，f(x)在(a，+)上单调增加可知，f(x)在(a，a 一 )内的零点唯一【知识模块】 微积分26 【正确答案】 当 x(一 1，+) 时因为 ln(1+x)x，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 方程 e2x=ax2 g(x)=x 2 e-2x= ，函数 g(x)=x2 e-2x 的定义域为(一，+)，且 g(x)=2x(1 一 x)e-2x，其驻点为 x=0 与 x=1，且g(x)=0，列表讨论 g(x)的单调性与极值，可得由 y=g(x)的图像 (图 22)可知，当 即 0ae 2 时 g(x)= 有且只有一个负根 x1；当 即 a=e2 时 g(x)= 恰有二根 x10 和 x2=1；当 吉即 ae 2时 g(x)= 恰有三个根 x1 0，0x 21 及 x31【试题解析】 方程 e2x=ax2 有两个等价方程 f(x)= =a 和 g(x)=x2e-2x= ，以下解答中考察等价方程 g(x)= 的根的个数与每个根所在的区间【知识模块】 微积分
