1、考研数学三（微积分）模拟试卷 210 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -11f(x)dx 都存在的是2 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零3 设 F(x)=f(x)，则（A）当 f(x)为奇函数时， F(x)一定是偶函数（B）当 f(x)为偶函数时；F(x)一定是奇函数（C）当 f(x)是以 T 为周期的函数时， F(x)一定也是以 T 为周期的函数（D）当 f(x)是以 T 为周期的函数时， F(x)一定不是以
2、T 为周期的函数4 设 f(x)在( 一，+)上连续，则下列命题正确的是（A）若 f(x)为偶函数，则 -aaf(x)dx0（B）若 f(x)为奇函数，则 -aaf(x)dx20af(x)dx（C）若 f(x)为非奇非偶函数，则 -aaf(x)dx0（D）若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)=0xf(t)dt 是以 T 为周期的周期函数二、填空题5 =_6 =_7 (lnlnx+ )dx=_8 (cosx 一 sinx)dx=_9 设 f(x)连续，f(x)0，则 =_10 =_11 01 =_12 ln(sinx)dx=_13 0a (a0)=_ 三、解答题解答应
3、写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求下列不定积分：14 15 16 (x1) ；17 e2x(1+tanx)2dx；18 ln(1+x2)dx；19 maxx3，x 2，1dx19 求下列定积分：20 21 01( )4dx22 22 求下列定积分：23 -11xln(1+ex)dx；24 -1125 01ln(1+ )dx；25 求下列定积分：26 0127 0128 0229 已知 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx30 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且当 x0 时，满足 f(x)F(x)= ，F(x)0，F(0)=一 1 求 f(x)(x0)31 设 f(lnx
4、)= 且 f(0)=0，求函数 f(x)和 f(lnx)32 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2，f(0)=0，求 01f(x)dx32 求下列积分(其中 n=1，2，3，) ：33 In= cosnxarctanexdx；34 Jn= cosncosnxdx考研数学三（微积分）模拟试卷 210 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 像这类题需逐一分析上述四个选项的 f(x)均不连续 对于(A)：显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上，f(x)一定存在原函数因为当 x0
5、时x=f(x)，因此当 x0 时，f(x)的全体原函数x+C 在 x=0 处不可导，从而在任意一个包含 x=0 在内的区间上，x+C不是 f(x)的原函数，所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 -11f(x)dx 存在，因为 f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B)：显然x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该 f(x)存在原函数 F(x)=(容易验证，当一x+时 F(x)=f(x)而定积分 -11f(x)dx 不存在，因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C) ：显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此
6、f(x)在包含 x=0 在内的区间上不存在原函数定积分-11f(x)dx 也不存在故(C)也不对 对于(D)：显然 x=0 是 f(x)的第二类间断点，容易验证该 f(x)在(一，+) 上存在原函数 F(x)= 定积分 -11f(x)dx也存在(因为 f(x)在(一，+) 上有界，且只有有限个间断点)故 D 正确，应选D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosx)cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 原式=02(2+cosx)cosxdx=-ln(2+cosx)cosxdx =20ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)d(si
7、nx) =2sinxln(2+cosx) 00sinxdln(2+cosx)=0 又因为在0，上，2+cosx 0，sin 2x0，因此该积分是与 a 无关的正数故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x)= +1，则 f(x)=x2 是偶函数，但 F(x)不是奇函数，故可排除(B) 令 F(x)=sinx+x，则 f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故可排除(C) 令 F(x)=sinx，则 f(x)=cosx，f(x)和 F(x)都是周期函数，故可排除(D) 当 f(x)为奇函数时，F(x)= 0xf(t)dt+C，而 F(一
8、 x)=0-xf(t)dt+C f(一 u)d(一 u)+C=0xf(u)du+C=F(x)，故 F(x)是偶函数，应选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)=0 既是偶函数又是奇函数，且 -aa0dx=0，所以不选 A，B 若 f(x)为非奇非偶函数，也可能有 -aaf(x)dx=0例如 f(x)= 在( 一，+)上为非奇非偶函数，但 -11f(x)dx=一 -103x dx+011dx=0，因此不选 C，由排除法应选 D 事实上，利用“若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，则 a+Tf(x)dx 的值与a 无关”与奇函数的积分性质可得， x 有 F(x+
9、T)F(x)= 0x+TF(x)=0x+Tf(t)dt0xf(t)dt=xx+Tf(t)dt= f(t)dt=0，所以 F(x)=0xf(t)dt 是以 T 为周期的周期函数【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 原式=(lnlnx+x )dx=lnlnxdx+xd(lnlnx)=d(xlnlnx)=xlnlnx+C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 +C【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确
10、答案】 【试题解析】 令 cotx=t，则 x0 +时 t+，x= 时 t=0，故再令t= ，则 t+时 x0 +，t0 +时 x+ ，于是【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 利用分部积分法【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 原式=【知识模块】 微积分15 【正确答案】 原式=【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 注意到(1+tanx) 2= +2tanx
11、，这样被积函数分成了两项于是 e 2x(1+tanx)2dx=e2x( +2tanx)dx=e2xd(tanx)+2e2xtanxdx =e2xtanx一 2e2xtanxdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由于被积函数是 maxx3，x 2，1，所以首先要对 x 的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整”求解如下：令 f(x)=maxx3，x 2，1= ，则当 x一 1时，f(x)dx=x 2dx= x3+C2；当一 1x1 时，f(x)ddx=dx=x
12、+C 2；当 x1 时，f(x)dx=x3dx= x4+C3由于原函数的连续性，有令 C2=C，则 C1=一+C，故maxx 3，x 2，1dx=【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得【试题解析】 先用凑微分法求或用变量替换令t=tanx，则 x=arctant，dx 于是现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为函数处无意义，可知上的原函数，它在积分区间0 ， 上也不连续，故不符合牛顿莱布尼茨公式及其
13、推广的条件用换元法令 t=tanx，则 =tan0=0，=tan =一 1于是这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间0， 上【知识模块】 微积分23 【正确答案】 原式= 01xln(1+ex)dx+-10xln(1+ex)dx又 -10xln(1+ex)dx tln1n(1+et)一 tdt=一 01tln(1+et)dt+01t2dt =一 01xln(1+ex)dx+01x2dx，因此，原式= 01x2dx= 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 原式= 由积分区间的对称性及函数奇偶性可知【知识模块】 微积分25 【正确答案】 用分
14、部积分法可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt，故【知识模块】 微积分27 【正确答案】 用分部积分法，可在(0，+)内求得不定积分由xlnx=0，可定义被积函数在 x=0 处的值为 0，于是被积函数在0，+)上连续又由 x2lnx=0，令 则在0，+) 上，有 =F(x)+C因此 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 x 一1=sint，则 dx=costdt，故【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由分部积分得x 3f(x)dx=x3f(x)一 3x2f(x)dx=x2cosxxsinx 一3(xsinx+2cosx)+C=x2cos
15、x 一 4xsinx 一 6cosx+C【知识模块】 微积分30 【正确答案】 对等式两边积分，得又由 F(x)0，F(0)=一 1，可知 C=0，于是 F(x)= 因而，f(x)=F(x)=【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 lnx=t 或 x=et，则上式积分得 f(t)= 由f(t)在 t=0 处连续，即 f(0+)=f(0-)=f(0)=0，得 C1=0，C 2=一 1故所求的函数为【知识模块】 微积分32 【正确答案】 01f(x)dx=01f(x 一 1)=(x1)f(x) 01 一 01(x 一 1)f(x)dx =f(0)一 01(x一 1)f(x)dx=一 01(x 一 1)arcsin(x 一 1)01dx 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分33 【正确答案】 利用公式 f(x)+f(一 x)dx，并令 f(x)=cosnxarctanex 可得 I n= cosnxarctanex+cosn(一 x)arctane-xdx 在上面利用了恒等式 arctanex+arctan ，x(一 ，+)【知识模块】 微积分34 【正确答案】 建立 Jn 的递推公式首先其实上述公式对 n=1，2，3，都成立【知识模块】 微积分
