1、考研数学三（微积分）模拟试卷 213 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 z=x2+y22lnx一 2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（A）函数 z 有四个驻点，且均为极小值点（B）函数 z 有四个驻点，且均为极大值点（C）函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点（D）函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点2 设平面区域 D1=t(x，y) x2+y2R2，D 2=(x，y)x 2+y2R2，x0，D3=(x，y) x 2+y2R2，x0，y0，则必有3 设平面区域 D1=(x，y)x+y1 ，D 2=t(
2、x，y)x 2+y21，D 3=(x，y)1，且I1= xyd，则（A）I 1I 2 I3（B） I1I 3I 2（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I1二、填空题4 设 D=x，y)2xx 2+y2，0yx2，则 =_5 交换积分次序： 01dx f(x，y)dy=_6 累次积分 02d d=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 将下列累次积分交换积分次序：7 01dx f(x，y)dy ；8 01dyf(x，y)dx+ 12dy f(x，y)dx 9 计算累次积分 I=01dx 10 计算 I= (x2+y2)d11 设区域 D 是由直线 y=x 与曲线 y=a
3、一12 求 I= yexydxdy，其中 D=(x，y) y2，1x213 计算 14 计算 I= dxdy，其中 D 由 y=ex，y=2 和 x=0 围城的平面区域。15 设 f(x，y)= (x，y)dxdy ，其中D=(x，y) x 2+y22x16 设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分17 计算二重积分 ，其中积分区域 D 由直线 y=一 x，y=x，x=一 1以及 x=1 围成17 交换下列累次积分的积分顺序：18 I1=01dx f(x，y)dy+ 1edxlnx1f(x，y)dy；19 I2=01dy f(x，y)dx+ 12dy
4、02yf(x，y)dx20 计算二重积分 yd，其中 D 是两个圆：x 2+y21 与(x 一 2)2+y24 的公共部分21 计算二重积分 ，其中 D 是曲线 y=lnx 与 y=2lnx 以及直线 x=e 所围成的平面区域22 求 I= ( x+y)dxdy，其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x1 及 y=x+1 所围成的区域23 计算二重积分 ye-4xd，其中 D 是由曲线 y=ex 与直线 y=x+1 在第一象限围成的无界区域24 设 f(x)在a，b上连续，求证： abf(x)dx2(ba)abf2(x)dx考研数学三（微积分）模拟试卷 213 答案与解析一、选择题下列每题给
5、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 z x=2x 一 =0 x=1 z y=2y 一 =0 y=1所以有四个驻点 (一 1，1)，(一 1，一 1)，(1，一 1)，(1，1)又 z“ xx=2+0，z“ xy=0，故有 ACB20目 A0从而以 E 四个驻点均为极小值点选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知 B 正确在(A)中0，所以(A)错误在(C) 中 =0，所以(C) 错误在(D)中 0，所以(D) 错误【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 易见三个积分区域 D1，D 2，
6、D 3 各自分别关于 x 轴对称，又各自分别关于 y 轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为 D11，D 21，D 31再利用被积函数 f(x，y)= xy分别关于变量 x 与变量 y 都是偶函数，从而有因为三个积分区域 D11，D 21，D 31 的左边界都是y 轴上的直线段(x，y) x=0，0y1 ，下边界都是 x 轴上的直线段(x，y)0x1 ，y=0，而 D11 的上边界是直线段(x，y)0x1，y=1 一 x，D 21的上边界是圆弧(x，y) 0x1 ，y= ， D31 的上边界是曲线弧(x，y)0x1，y= +x不难发现当 0x1 时即三个积分区域 D11，D 21 与D31
7、的包含关系是 D31 D21，如图 41从而利用被积函数xy非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是 I3I 1I 2，即应选 C【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 采用极坐标计算首先画出 D 的图形 (如图 43)，x 2+y2=2x 的极坐标方程为 =2eos；x=2 的极坐标方程为 =2sec； y=x 的极坐标方程为 = ，故【知识模块】 微积分5 【正确答案】 01dy (x，y)dx+ 12dy01f(x，y)dx+ 23dy03yf(x，y)dx【试题解析】 由题设知，积分区域由 x=0，x=1，y=x 2，y=3 一 x 所围成，即积分区域 D=
8、D1，D 2，D 3(如图 44)，且 D 1=x，y)0y1，0x ， D2=x， y)1y2 ，0x1， D 3=(x，y)2y3，0x3 一 y，于是交换积分次序得 01dx f(x，y)y= 01dy (x，y)dx + 12dy01f(x，y)dx +23dy03yf(x，y)dx【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 如图 45，在(，)平面上交换积分次序，有 原式= 0d02(21)d=【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 首先画出积分域如图 47 所示交换积分次序后原积分可以写成【知识模块】 微积
9、分8 【正确答案】 画出积分域，如图 48 所示由图可知，交换积分次序后原积分成为【知识模块】 微积分9 【正确答案】 积分区域图形如图 49，由被积函数的形式，可以看出应先对 x积分，故交换积分次序，得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由累次积分知积分区域 D 如图 410，由被积函数和区域 D 看出，本题在极坐标系 z=rcos，y=rsin 中计算较方便 y= 在极坐标下的方程为 r=2，y= 在极坐标下的方程为 r=2cos，且 D=D1+D2，其中 D 1=(r，)00 ，2cosr2， D2=(r，) ，0r2 ，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 区域 D 如图 411
10、，在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中它可表示为【知识模块】 微积分12 【正确答案】 作出区域 D 的平面图形，如图 412将 D 分割成 D1 与 D2，则D=D1+D2，其中 D 1=(x， y) x2，D2=(x，y) 1y2 ，1x2所以 I= yexydx+12dy12yexydx = (e2ye)dy+12(e2yey)= e4e2若本题选择对 y 积分，则 此时，如果欲想分别积分 12e2x 的原函数没有初等函数的表达式(即不可积类型)， 12 e2xdx 无法继续计算下去由此看来，在计算二重积分选择积分次序时，不但要考虑积分区域的特点，同时还要考虑被积函数的特点当按某种
11、积分次序遇到困难无法进行下去时，马上应考虑换另一种积分次序进行 如果不考虑去计算12 e2xdx，那么有如下解法【知识模块】 微积分13 【正确答案】 积分区域 D 为扇形(见图 413)：【试题解析】 因为无法得到 的原函数的解析式，所以在直角坐标系中无法算出结果注意被积函数属 f(x2+y2)的形式，因此可选用极坐标系x=rcos，y=rsin【知识模块】 微积分14 【正确答案】 积分区域如图 414由被积函数形式可以看出，此积分只能先对 x 积分，故【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由 f(x，y)的定义域和 D 确定的积分区域如图 415 中的 D1，即【知识模块】 微积分16
12、 【正确答案】 本题中积分区域如图 416 中阴影部分所示 将其化为极坐标，可知 0， 由于 y=1x 可表示为 rsin=1rcos，即 r= ，而y2=2xx2 可表示为 r=2cos，故 rcos从而原积分可化为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 积分区域 D 分别关于 x 轴与 y 轴对称，如图 417由于被积函数 f(x，y)=x 2 分别是 x 与 y 的偶函数，从而其中 D1 是 D 在第一象限的部分因被积函数的表达式中包含 ，采用极坐标系 x=rcos，y=rsin 来计算较简，这时【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由题意知，积分区域 D=D1D2
13、，其中 D 1=(x，y)0x1，1 一xy1，D 2=(x，y) 1xe ，lnxy1 ，见图 4 18，交换积分顺序得 I 1=01dyf(x，y)dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 I2 可知，D=D 1D2，其中 D 1=(x，y)0y1，0x ， D2=(x，y) 1y2 ，0x2 一 y，见图 419，交换积分顺序得I2=01dx f(x，y)dy【知识模块】 微积分20 【正确答案】 积分区域 D 如图 420 所示由于被积函数 f(x，y)=y 关于 x 轴对称，积分区域 D 也关于 x 轴对称，所以积分值为 0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】
14、微积分22 【正确答案】 作出 D 的平面图形如图 421因积分区域关于原点 O 对称，被积函数又是 x 与 y 的偶函数，故 其中D1=(x，y) 0x1 ，x 一 1y0， D 2=(x，y)0x1，0yx+1， D3=(x，y) 1x2 ，x 一 1y 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由题设知 D=(x，y)0x+， x+1yex，(如图 422)设常数 b0，且 Db=Dxb=(x，y)0xb，x+1ye x，则 Db=D故【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设积分区域 D=(x，y)axb， ayb，由 abf(x)dx=abf(y)dy 可知二重积分 f(x)f(y)d=abdxabf(x)f(y)dy=abf(x)dxabf(y)dy=abf(x)dx2另一方面利用不等式 f(x)f(y) f2(x)+f2(y)，又有 f2(x)+f2(y)d =f(y)d = abf2(x)dxabdy+abdxabf2(y)dy = (ba)abf2(x)dx+abf2(y)dy =(b 一 a)abf2(x)dx综合即得 abf(x)dx2(b 一 a)abf2(x)dx【知识模块】 微积分
