1、考研数学三（微积分）模拟试卷 214 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 an0，n=1，2，若 (一 1)n1an 收敛，则下列结论正确的是（A） a2n 发散（B） a2n1 发散（C） (a2n1+a2n)收敛（D） (a2n1a2n)收敛2 下述各选项中正确的是（A）若 (un+vn)2 收敛（B）若 vn 都收敛（C）若正项级数 （D）若级数 un 收敛，且 unvn(n=1，2，) ，则级数 vn 也收敛3 设 a 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 的取值有关4 若级数 an(x 一 1)n 在 x
2、=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 设 un=n(n+1) un 为（A）发散的正项级数（B）收敛的正项级数（C）发散的交错级数（D）收敛的交错级数6 已知级数 条件收敛，则常数 p 的取值范围是7 下列命题中正确的是（A）若幂级数 anxn 的收敛半径为 R0，则 （B）若极限 anxn 没有收敛半径（C）若幂级数 anxn 的收敛域为一 1，1，则幂级数 nanxn 的收敛域也为一1，1（D）若幂级数 anxn 的收敛域为一 1，1 ，则幂级数 xn 的收敛域也为一 1， 18 设幂级数 (x 一 a)n 在点 x1=一 2
3、 处条件收敛，则幂级数(x 一 a)n 在点 x2= 处（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）其敛散性与口的取值有关二、填空题9 设级数 (un+un+1+un+2)=_10 幂级数 x2n1 的收敛半径为_11 幂级数 的收敛域是_12 幂级数 xn 的收敛域为_13 幂级数 102n(2x 一 3)2n1 的收敛域为_14 幂级数 (n21)xn 的和函数是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 判别下列级教的敛散性15 16 17 18 (其中常数 p1)18 判别下列级数的敛散性若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛19 20 21 讨论级数 的敛散性，其中x n
4、是方程 x=tanx 的正根按递增顺序编号而得的序列。22 讨论级数 的敛散性与参数 p，x 的关系23 已知函数 y=y(x)满足等式 y=x+y，且 y(0)=1，试讨论级数的收敛性24 设 f(x)在 一 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛24 将下列函数在指定点处展开成幂级数：25 f(x)=lnx，分别在 x=1 与 x=2 处；26 f(x)= ，在 x=1 处27 将函数 f(x)= 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 f(1)28 求幂级数 的收敛半径与收敛域29 求幂级数 (2n+1)x2n+2 的收敛域，并求其和函
5、数29 求下列幂级数的和函数：30 (n+1)2xn；31 32 33 33 设有两条抛物线 y=nx2+ 和 y=(n+1)x2+ ，记它们交点的横坐标的绝对值为 an。34 求两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；35 求级数 的和36 设 an=01t2(1 一 t)ndt，证明级数 an 收敛，并求其和考研数学三（微积分）模拟试卷 214 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 注意，级数 (a2n1a2n)是把收敛级数 (一 1)n1an 各项不改变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛
6、，故应选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 0(u n+vn)2(u n+ v n) 2=un2+2u nvn+v n22un2+2vn2，又级数， (2un2+2vn2)亦收敛从而级数 (un+vn)2 收敛故选 A 对于(B)，只要令 un=( )n，v n=2n，易验证(B)错误 对于(C) ，令un= ，显然选项 C 错误 对于(D)，当 un 为正项级数， vn 为负项级数时(如令vn=一 1)，易验证 (D)错误【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由于应选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件 an(一 2
7、)n 收敛，可知幂级数， antn 的收敛半径R2，从而 antn 当 t(一 2，2) 时绝对收敛注意 x=2 时对应的 t=x 一 1=1故幂级数 an(x1)n 在 x=2 处绝对收敛故选 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=n+t，则所以交错级数 un 收敛，故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 故当 p+an 收敛，从而原级数绝对收敛；当 p+an 发散，从而原级数不是绝对收敛的 当 0p+时，显然 an0(n) 令所以 x 充分大时 f(x)单调增加，于是 n 充分大时， an= 单调减少，应用莱布尼茨判别法推知当一时原级数条件收
8、敛故选 D 当 p+时原级数发散【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 极限 = 只足收敛半径为 R= 的一个充分条件，因此 A不对幂级数 anxn 的收敛半径存在而且唯一，所以 B 不对取级数 可以排除(C) (D)可以由幂级数的逐项积分性质得到，故选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 首先，幂级数收敛半径为 R=1其次，级数在 x1=一 2 处条件收敛，则 x1=一 2 必为收敛区间的端点由x 1 一 x2=必在收敛域之外与 a 的取值无关因此选 C【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 S= un 收敛，那么由级数的基本性质
9、有 =S+(S 一 u1)+(Su1u2)=3S 一 2u1u2由于 u1=S1=1，u 2=S2 一 u1= ，则【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2【试题解析】 当 x=0 时级数显然收敛当 x0 时设 un(x)= x2n1，于是 用比值判别法知，当x21 时幂级数绝对收敛，而当 x21 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为2【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 2，2)【试题解析】 当 x=0 时级数必收敛当 x0 时设 un(x)= ，于是故当1 即x2 时，幂级数绝对收敛，而当x2 时幂级数发散 当 x=2时，幂级数变为 ，显然发散；当 x=一 2 时，幂级数变为交错级数
10、，由莱布尼茨判别法易判断其收敛故收敛域为一 2，2)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 根据收敛半径的计算公式，幂级数， 的收敛半径为 1，收敛域为一 1，1) ；幂级数 的收敛域为(一 2，2)因此原级数在一 1，1)收敛，在(一 2，一 1)1，2)一定发散又根据阿贝尔定理，原级数在 (一 ，一 22，+)也一定发散故原级数的收敛域为 一 1，1)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (145，155)【试题解析】 这是缺项幂级数，把一般项化成 an(x 一 x0)2n1 的标准形再计算所以当 202 =005 时，级数绝对收敛；当x一 005 时，级数发散
11、故幂级数 102n(2x 一 3)2n1 的收敛区间为(145 ，155) 又当x =005 时，原级数的一般项分别是 un=一 10 和un=10，所以发散因此幂级数 102n(2x 一 3)2n1 的收敛域为(1 45，155)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 +1，(x1)【试题解析】 当 x=0 时级数收敛，当 x0 时设 un(x)=(n21)xn，由于可见幂级数的收敛半径R=1 当 x=1 时原级数一般项不趋于零，故幂级数的收敛域为(一 1，1)求和函数得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 用比值判别法
12、故该级数发散【试题解析】 本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法【知识模块】 微积分16 【正确答案】 u n=0，所以un=e0=10，故级数发散【知识模块】 微积分17 【正确答案】 此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法比值判别法：1，故收敛比较判别法：取 v=收敛，所以原级数收敛【知识模块】 微积分18 【正确答案】 用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数 作比较因为【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分19 【正确答案】 I(一 I)n1 一 1，利用正项级数比较判别法极限形式，我们取 un= 因为对于原级数，令 f(x)= ，在区间e，+)上有 f(x)=
13、0，故 f(x)= 在区间e，+)上单调递减，且 满足莱布尼茨判别法的两个条件： un=0，u nun+1故得知原级数条件收敛【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由 ln(1+x)x(x0)，可知 ln(e n+e-n)=lnen(1+e-2n)=n+ln(1+e-2n)n+e -2n令f(x)= 0因此 f(x)单调减少，故数列 单调递减又 =0，由莱布尼茨判别法，知原级数收敛故原级数条件收敛【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 f(x)=x 一 tanx，x(n 一 )，则 f(x)=1 一 =一tan2x0，等号仅在 x=n 时成立，故 f(x)单调减少又故 f(x)在(n 一
14、 )有唯一的根，且 xn(n 一 )，从而 x n n 一 2，继而有 x n(n 2)2，由于 收敛【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 n 充分大时1 一 0，故级数为正项级数故 vn发散，故当 p+x1 时， un 收敛；当 p+x1 时， un 发散【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 y=x+y，所以 y“=1+y由 y(0)=1，得 y(0)=1，y“(0)=2根据麦克劳林公式，就有【试题解析】 y(x) 是已知微分方程的一个特解，再由其麦克劳林公式讨论级数的收敛性【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于 f(x)在 一 2，2上有连续的导数，则 f(x)在一 2
15、，2上连续，设 M 为f(x)在一 2，2上的最大值，则 x一 1，1时， F(x)= -xxf(x+t)dt=02xf(u)du=02xf(u)d(u 一 2x) =f(u)(u 一 2x) 02x 一 02xf(u)(u 一 2x)du=一 02xf(u)(u一 2x)du，由此可得 F(x)M 02x(2xu)du=2Mx2，x一 1，1因此收敛，由比较判别法可得绝对收敛【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分25 【正确答案】 利用换元法与已知的幂级数展开式 ln(1+x)= xn(一1x1)求解本题首先设 x 一 1=tx=1+t ，代入可得 f(x)=lnx=ln(1+t)=(x1
16、)2，展开式的成立范围是一 1t1 即一 1x一 11 0x2 其次设 x2=t x=2+t，代入可得展开式的成立范围是一 1 1 一 2x 一 22 0x4【知识模块】 微积分26 【正确答案】 展开式成立的范围是 1，即一 2x4【知识模块】 微积分27 【正确答案】 将 f(x)视为(x 一 1) bn(x 一 1)n 即可因为 利用公式(514)，并以 代替其中的 x，则有由于 f(x)的幂级数 an(x 一 1)n 的系数 an= ，所以 f (n)(1)=n!an= 【试题解析】 “在点 x0=1 处展成幂级数”即展成 x 一 1 的幂级数【知识模块】 微积分28 【正确答案】 用
17、比值判别法判别其敛散性当 x=0 时幂级数收敛；当 x0 时有所以，当 0x1 时，幂级数绝对收敛；x1 时幂级数发散；当x=1 时，由于， un0，幂级数发散，故幂级数收敛域为(一 1，1)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (2n+1)x2n=x2 (2n+1)x2n，记 (2n+1)x2n 的和函数为 S(x)，则【试题解析】 记 un(x)=(2n+1)x2n“，消去每项中的系数 (2n+1)便可化为等比级数【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分30 【正确答案】 易知幂级数收敛域为(一 1，1)记 S(x)= (n+1)2xn，则对上式两边求导，得和函数 S(x)= (一 1x
18、1)【知识模块】 微积分31 【正确答案】 故只要消去系数中的因子 n 便可以使用 ex 的展开式求和 幂级数的收敛域为(一，+)和函数 把 g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得所以 g(x) =(xe x)=(1+x)ex， S(x) =xg(x) =(x+x 2)ex (一x+)【知识模块】 微积分32 【正确答案】 利用逐项求导两次去掉幂级数的通项 的分母 n(2n+1)，化为几何级数求和函数计算可得幂级数 的收敛半径 R=1，收敛域是一 1，1 ，设其和函数为 S(x)，则 S(x)= ，一 1x1，且 S(0)=0 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母 n(2n+1)化为几何级数
19、求和，可引入幂级数 ，这个幂级数的收敛半径也是 R=1，收敛域也是一 1，1，设其和函数为 S(x)，则 S 1(x)= =xS(x)，一 1x1，且 S1(0)=S1(0)=0在开区间(一 1，1) 内逐项求导两次可得 S“ 1(x)=2 (1)nx2n1=2x (x2)n1=一，逐项积分就有 S 1(x)=0xS“1(t)dt=一 0x dt=ln(1+x2)，一 1x1， S1(x)=0xS1(t)dt=一 0xln(1+t2)dt=一 xln(1+x2)+0xtdln(1+t2) =一 xln(1+x2)+20x dt=2x 一 2arctanxxln(1+x2)，一 1x1由于幂级数
20、在 x=1 都收敛，且函数 2x2arctanxxln(1+x)在 x=1 都连续，故和函数 S1(x)=2x 一 2arctanxxln(1+x)分别在 x 一 1 与 x=1 处也成立由此即得【知识模块】 微积分33 【正确答案】 设 S(x)表示 的和函数由于因此幂级数 的收敛半径 R=1，且 x(一 1，1)时 设 S1(x)=，它们的收敛半径都是 1，因此两幂级数(1，1)内逐项求导，得S1(x)=0xS(t)dt+S1(0)=0x dt=ln(1t) 0x=一 ln(1x)， S 2(x)=0xS2(1)dt+S2(0)=0x( 一 1t)dt=ln(1 一 x)x ，于是 =xS1(x)=xln(1x)x(1，1)， ，x(一 1，0) (0，1)因此 S(x)=，x(一 1，0)(0，1)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分34 【正确答案】 由y=nx2+ 因图形关于 y 轴对称，所以【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 a n=01t2(1 一 t)ndt= 01(1 一 u)2undu=01(un2un+1+un+2)du【知识模块】 微积分
