1、考研数学三（微积分）模拟试卷 215 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinx=ylny 满足定解条件 y( )=e 的特解是（A） （B） esinx（C） （D） 2 若 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=ln(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x3 设 C1 和 C2 是两个任意常数，则函数 y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx 是二阶常系数线性微分方程( ) 的通
2、解（A）y“一 2y+5y=4cosx 一 2sinx（B） y“一 2y+5y=4sinx 一 2cosx（C） y“一 5y+2y=4cosx 一 2sinx（D）y“一 5y+2y=4sinx 一 2cosx二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 已知方程 y“+p(x)y+q(x)y=0，求证：4 若 p(x)+xq(x)=0，则 y=x 是方程的一个特解；5 若 m2+mp(x)+q(x)=0，则 y=emx 是方程的一个特解5 求下列微分方程的通解：6 (x 一 2)dy=y+2(x 一 2)3dx；7 (1+y2)dx=(arctany 一 x)dy；8 y+2y=
3、sinx；8 求下列微分方程的通解：9 eyy一 ey=x2；10 11 (x23y2)x+(3x2 一 y2)y =0；11 求下列微分方程的通解：12 13 y= tany；14 xdyydx=y2eydy；14 求下列微分方程的通解：15 u“+5y+6y=ex；16 y“+9y=6cos3x16 求下列差分方程的通解：17 yt+1yt=et，其中 ， 为常数，且 0；18 yt+1+2yt=5cos t19 求方程 y“+2my+n2y=0 满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，其中mn0，a，b 为常数，并求 0+y(x)dx=?20 设一曲线过点(e，1)，且在此曲线
4、上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为，求此曲线方程21 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)一 y(x)满足 y(1+y)= +， 其中当x0 时 是 x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求 y(x)22 设函数 y(x)连续，且满足 1xy(t)dt 一 2y(x)=xx+1+01y(t)dt，求 y(x)23 设函数 f(x)连续，且 0xf(t)dt=sinxx+0xtf(x 一 t)dt求 f(x)24 设函数 f(x)可微，且满足 f(x)一 1=f1xf(t)lnt 一 dt，求 f(x)25 设二阶常系数线性微分方程 y“+y+y=ex 的一
5、个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 ，并求该方程的通解26 求 yt+1 一 yt=2t(t 一 1)(t 一 2)的通解27 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce-p(x)dx 是方程 y+p(x)y=0 的所有解28 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= 试求：在(一，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=029 设函数 f(x)连续，且满足 03xf( )dt+e2x=f(x)，求 f(x)30 设 f(x)，g(x) 满足 f
6、(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0dx30 已知微分方程 y“+(x+e2y)(y)3=031 若把 y 看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式?32 求此方程的解考研数学三（微积分）模拟试卷 215 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程 ysinx=ylny 是可分离变量的微分方程，分离变量得即所求特解为 y= 故应选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 在所给的选项 A，B，C 中 y 包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二
7、阶微分方程的通解，故应选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，e xcos2x 与 e2sin2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay+by=0 两个线性无关的特解从而特征方程2+a+b=0 的两个特征根应分别是 1=1+2i， 2=12i，由此可得 2a+b=( 一 12i)( 一 1+2i)=(1)2 一(2i) 2=22+1+4=2+5，即 a=一 2，b=5 由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知 sinx 应是非齐次方程 y“一 2y+5y=f(x)的一个特解，故 f(x)=(sinx)“一 2(sinx)+5sinx=
8、4sinx 一 2cosx 综合即得所求方程为 y“一2y+5y=4sinx 一 2cosx应选 B【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 用 y=x 代入方程则有 p(x)+xq(x)0，可见当 p(x)+xq(x)0 时 y=x是方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的一个特解【知识模块】 微积分5 【正确答案】 用 y=emx 代入方程则有 y“+p(x)y+q(x)y=m 2+p(x)m+q(x)emx0 故当 m2+p(x)m+q(x)0 时 y=emx 是方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的一个特解【知识模
9、块】 微积分【知识模块】 微积分6 【正确答案】 原方程可改写为 y =2(x 一 2)2，这是一阶线性微分方程，用积分因子 =2(x 一 2)，两边求积分即得通解 =C+(x 一 2)2，即 y=C(x 一 2)+(x 一 2)3，其中 C 是任意常数【知识模块】 微积分7 【正确答案】 原方程可改写成 ，这是以 x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用积分因子 =earctany 同乘方程两端可得 (xe arctany)= earctany 两边求积分即得通解 xearctany=C+ C+ueudu=C+(u 一 1)eu =C+(arctany 一 1)earctany，即 x=
10、Cearctany+arctany 一 1，其中 C 是任意常数【知识模块】 微积分8 【正确答案】 用积分因子 e2x 同乘方程两端，可得(e 2xy)=e2xsinxe 2xy=e2xsinxdx+Cy=e -2xe2xsinxdx+Ce-2x 因为 e 2xsinxdx=一e 2xd(cosx)=一 e2xcosx+2e2xcosxdx=一 e2xcosx+2e2xd(sinx) =一 e2xcosx+2(e2xsinx 一 2e2xsinxdx)=e2x(2sinx 一 cosx)一 4e2xsinxdx， e 2xsinxdx= e2x(2sinx 一 cosx)代入即得通解y=Ce
11、-2x+ (2sinx 一 cosx)，其中 C 是任意常数【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分9 【正确答案】 原方程可变形为(e y)一 ey=x2，设 Z=ey，方程为 Z一 Z=x2，于是，由一阶线性微分青程公式法，得通解故原方程的通解为ey= x3+Cx【知识模块】 微积分10 【正确答案】 题设方程为齐次微分方程当 x0 时 =u 可把方程改写成综合可得方程的通解为 +y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分11 【正确答案】 题设方程为齐次微分方程，方程可改写成代入就有通解 ln1+u 2 ln1u 2+ln x=C (x2+y2)2=C(x2y2)，其中 C 是任意
12、常数。【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分12 【正确答案】 将 y 看成自变量，x 看成是 y 的函数 x=x(y)，则原方程是齐次微分方程令 u(y)= ，代入原方程，得 yu=一 ，这是一个变量可分离型方程，其通解为 y(eu+u)=C所以原微分方程的通解为 +x=C【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 ycosy=(siny)，令 u=siny，则原微分方程化为 u+u=x 这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e -x(C+xexdx)=Ce-x+x 一 1 所以原微分方程的通解为 siny=Ce-x+x 一 1【知识模块】 微积分14 【
13、正确答案】 当 y0 时，将原方程变为如下形式： e ydy+=0，所以原方程是一个全微分方程，其通解为 ey+ =C，即 x=y(Cey)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因特征方程是 2+5+6=(+2)(+3)=0 特征根为 1=一 2， 2=一3而自由项 f(x)=ex，故可设非齐次方程有特解 y*=Aex，代入原方程可确定A= 故方程的通解为 y=C1e-2x+C2e-3x+ ex【知识模块】 微积分16 【正确答案】 对应的特征方程为 2+9=( 一 3i)(+3i)=0j 特征根为 1=3i， 2=一3i，南方程的非齐次项 6cos3x 可知，应设非齐次
14、方程的特解具有形式y*=x(Acos3x+Bsin3x)计算可得 (y*)“+9y=6(Bcos3xAsin3x) 6cos3x， 从而A=0，B=1 综合得通解 y=(C1+x)sin3x+C2cos3x【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分17 【正确答案】 方程的通解可设为 yt=Ct+yt*，当 e 时，可设 yt*=Aet，代入方程可确定 A= 即原方程的通解为 yt=Ct+ et；当 =e 时可设yt*=Atet，代入方程可确定 A=e-，故方程的通解为 y=(C+*9)t【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设方程的通解为 yt=C(一 2)t+Acos ，于是故方程的通解为
15、 yt=c(一 2)t+2cos 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 特征方程为 2+2m+n2=(+m)2+n2 一 m2=0，特征根为 =一 m+，于是方程的通解为 y=C1令计算可得 0= 0+(y“+2my+n2y)dx=y 0+2my 0+n20+ydx =一 b2ma+n20+ydxydx= 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由题设知，过曲线上任意点 M(x，y)处的切线斜率为由一阶线性微分方程的通解公式，可得 y= =x(lnlnx+C)=xlnlnx+Cx由曲线过点(e，1) 可确定常数 C= ，故所求曲线方程为 y= +xlnlnx【知识模块】 微积分21 【正确答
16、案】 由题设等式可得(1+ y)+1从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成 ，两边积分得 =C+ln(4+x)y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)令 x=0，y=2 可确定常数 C= 一 2ln2，故 y=( 一 2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x) 2ln2+ln(4+x)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 y(x)连续可知 1xy(t)dt 可导，从而 y(x)可导将方程两端对 x 求导，得一阶线性微分方程 y(x)一 2y(x)=2x 解之可得通解 y(x)=C +2x+4 在原方程两端令 x=1 又有一 2y(1)
17、=2+01y(t)dt，即 0=2+2y(t)+ 01y(t)dt=2+2C +12+01(C+2t+4)dt =14+2C 一 1)+5 可确定常数 C=【知识模块】 微积分23 【正确答案】 将 0xtf(x 一 t)dt (x 一 u)f(u)(一 du)=0x(x 一 u)f(u)du =x0xf(u)du 一 0xuf(u)du 代入原方程即得 0xf(t)dt=sin2x+x0xf(u)du 一 0xuf(u)du 由f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+0xf(u)du=sin2x+0xf(u)du 在上式中令 x=0 可得
18、 f(0)=0，由上式还可见f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x) 故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)= (ex+2sin2xcos2X)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 原方程两边对 x 求导，得 f(x)=f 2(x)lnx 一 ，且 f(1)=1上式变形为 ，代入方程，得 由一阶线性微分方程的通解公式，有将 z=ln2x+C)=1，由 f(1)=1 定出 C=1，于是【知识模块】 微积分25 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入方程可得 (4+2+)e 2x+(3+2+ 一 y)ex+(1+)xe
19、x=0，因 e2x， ex 与 xex 线性无关(证明见评注)，故于是所求方程是 y“一 3y+2y=一 ex，因特征方程为 2 一 3+2=0 即特征根为 1=2， 2=1，则对应齐次微分方程的通解为C1e2x+C2ex，由所给特解 y=e2x+(1+x)ex 可见非齐次方程有一个特解为 y*=xex综合即得所求通解为 y=C1e2x+C2ex+xex【知识模块】 微积分26 【正确答案】 原差分方程对应的齐次差分方程是 yt+1 一 yt=0，其通解为 yt=C，非齐次差分方程的通解可设为 yt=C+t+t2+t3+8t4，代入方程可得 y t+1 一yt=+(2+3+4)t+(3+6)t
20、2+4t3 2t(t1)(t 一 2)， 比较系数，可得方程组 故所求通解为 yt=C 一3t+ t4，其中 C 是任意常数【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye-p(x)dx=C，故y=Ce-p(x)dx【知识模块】 微积分28 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程y一 2y=2 的两边同乘 e-2x 得(y
21、e -2x)=2e-2x，积分得通解 y=C1e2x1； 而当 x1 时，方程 y一 2y=0 的通解为 y=C2e2x 为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C1e21=C2e2，即 C2=C1e-2，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为 y= 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 在积分中作换元 s= =30xf(s)dx，代入方程，可得 f(x)=3 0xf(s)ds+e2x在上式中令 x=0，得 f(0)=1由于 f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又 e2x 也可导，这就保证了 f(x)可导将上式两端对 x 求导，得 f(x)=3f(x)+2
22、e2x由此可见，f(x)是一阶线性微分方程 y一 3y=2e2x 满足初始条件 y(0)=1 的特解用积分因子 e-3x 乘方程两端，得(ye -3x)=2e-x积分一次，不难得到它的通解 y=Ce3x 一 2e2x利用初始条件可确定常数 C=3所以，所求的函数是 f(x)=3e 3x 一 2e2x【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 f(x)=g(x)可得 f“(x)=g(x)，结合 g(x)=2e2x 一 f(x)可得 f(x)满足微分方程 f“(x)=2e2x 一 f(x)，即 y“=2e 2x 一 y 在 y“+y=2ex 中，由于 =1 不是其齐次方程的特征根，因此它有形如 y
23、=aex 的特解，将 y=aex 代入方程 y“+y=2ex 中可得a=1因此 y“+y=2ex 的通解为 y=C 1cosx+C2sinx+ex由 f(0)=0，g(0)=2 ，可知 f(x)是y“+y=2ex 的满足初值条件 y(0)=0，y(0)=2 的特解将初值条件代入通解中得 C1=一 1，C 2=1因此 f(x)=一 cosx+sinx+ex注意到，f(0)=0，f(x)=g(x)，因此【试题解析】 由 f(x)=g(x)两边求导可得 f“(x)=g(x)，再由 g(x)=2exf(x)可得 f(x)所满足的微分方程【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 代入方程得 x“一 x=e2y【知识模块】 微积分32 【正确答案】 特征方程 r21=0 的两个根为 r1=1，r 2=一 1由于在非齐次项 eay中 a=2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 x*=Ae2y，代入方程得 (4A 一 A)e2y=e2y A= 因此，通解为 x=C1ey+C2e-y+ e2y【知识模块】 微积分
