1、考研数学三（微积分）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）羌法确定是否取极值2 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22（B） xf“12+xzf“22（C） f2+xf“21+xzf“22（D）xzf“ 223 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分
2、条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在二、填空题5 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则 =_6 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= =_7 设 y=y(x)由 =_8 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_9 设 z=
3、f(x+y， y+z，z+x) ，其中 f 连续可偏导，则 =_10 设 =_11 由方程 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为 dz=_。12 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_13 设 f(x，y)可微，且 fa(一 1，3)=一 2，f 2(一 1，3)=1，令 z=f(2xy， )，则dz (1， 3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 z=z(x，y)由 zyz+yezxy=0 确定，求 及 dz15 设 z=f(xy+g(xyz)，其
4、中 f，g 可微，求16 设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： 17 设 xy=xf(x)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 z，y 的函数证明：18 设 z=f(x，y)由方程 zyz+xezyx=0 确定，求 dz19 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 与 ez 一xz=0 确定，求 20 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有
5、一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 21 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求22 设23 设变换 ，求常数a。24 设 z=fx+(xy)，y ，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求25 设 f(x+y， xy)=x2y2+ 26 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值27 求 u=x2+y2+z2 在 上的最小值28 平面曲线 L： 绕 x 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积29 设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件
6、，利润函数为 L(x，y)一 6x=x2+16y 一 4y2 一 2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2 000 kg，现有该原料 12 000 kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?考研数学三（微积分）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 ，选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 如 f(xy)= 在点(0，0)处可偏导，但不连续； 又如 f(x，y)= 在(0，0) 处连续，但对 x 不可偏导选 D
7、【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y) 在 y=y0 处导数为零，选 A【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 e x+y+z=x2+y2+z2 两边对 z 求偏导得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 e 1【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 z+e zzy2 两边求微分得 d(z+ez)一 d(xy2)，即 dz+ezdz=y2dx+2
8、xydy，解得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x+y，y+z，z+x) 两边求 x 求偏导得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 z+xy【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 1【试题解析】 解得 fx(0，1 ，一 1)=1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 一 7dx+3dy【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方程 zyz+yezxy=0 两边对 x 求偏导得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 等式 z=f(xy+g
9、(xyz)两边对 x 求偏导得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，Y 求偏导，得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 对 zyz+xzyz=0 两边求微分，得 dzdydx+ezyxdx+xezyx(dzdydx)=0， 解得 dz= 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分22
10、 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 z=fx+(xy)，y两边对 y 求偏导得 =一 f1+f 2， =一(f“11+f“12)一 f1“一 f“21+f“22=f“11()22f“12+f1“+f“22.【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)y0)，【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 根据题意，即求函数 L(x，y)=6xx 2+16y 一 4y2 一 2 在 0z+y6下的最大值 L(x ，y)的唯一驻点为 (3，2)， 令 F(x，y，)=6xx 2+16y 一 4y2 一2+(x+y 一 6)， 由 ，根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y) 的 可能取值为 L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2 时利润最大，最大利润为 23 万元【知识模块】 微积分
