1、考研数学三（微积分）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c 2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex，则该微分方程为( )（A）y一 y“一 y+y=0（B） y+y“一 y一 y=0（C） y+2y“一 y一 2y=0（D）y2y“一 y+2y=03 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的
2、两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)4 微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( )二、填空题5 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_6 设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x)0xf(x 一 t)dt=2x，则 f(x)=_7 连续函数 f(x)满足 f(x)=30xf(xt)dt+2，则 f(x)=_8 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)y(x)，且 ，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_9 的
3、通解为_10 微分方程 xy一 y1n(xy)一 1=0 的通解为_11 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_12 设连续函数 f(x)满足 f(x)= ，则 f(x)=_13 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_14 yy“=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 =1+x+y+xy 的通解16 求微分方程 xy= 的通解17 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解18 设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)=1+ ，求 f(x)19 求微分方程(y+ )dxxdy=0 的
4、满足初始条件 y(1)=0 的解20 求微分方程(yx 3)dx 一 2xdy=0 的通解21 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解22 求微分方程 一 cosxsin2y=siny 的通解23 求微分方程 =x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解24 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解25 求微分方程 的通解26 求微分方程 的通解27 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解28 设 f(x)=ex0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)29
5、求微分方程 xy“+3y=0 的通解30 设当 x0 时，f(x)满足 1xf(t)dt 一 f(x)=x，求 f(x)31 求满足初始条件 y“+2x(y)2=0，y(0)=1 ，y(0)=1 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值位 1=一 2， 2=2 y“一 4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x，y“ 一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，选 D【知识模块】 微积分2
6、【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2 一+1=0，所求的微分方程为 y一 y“一 y+y=0，选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)一 2(x)+2(x)，选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】
7、 微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0 的通解为 C1e2x+C2e2x，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解，选 D【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 (x+C)cosx 【试题解析】 通解为 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2x【试题解析】 ，令 F(x)=0xf(u)du，由 f(x)0xf(xt)dt=2x3，得 f(x)0xf(u)du=2x3， 即 =2x3，则 F2 (x)=x4+C0 因为 F(0)=0，所以 C0=0，又由 F(x)0，得 F(x)=x2，故 f(x)=2x【知识模块】 微积
8、分7 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由 =0xf(u)du 得 f(x)=30xf(u)du+2， 两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 f(x)一 Ce3dx=Ce3x， 取 x=0 得 f(0)=2，则C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 令 xy=u，y+xy=，积分得lnlnu=lnx+lnC，即 lnu=Cx，原方程的通解为 ln(xy)=Cx。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
9、微积分12 【正确答案】 2e 3xex【试题解析】 因为 f(0)=1，所以 f(0)=C 一 1=1，C=2，于是 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2+lnC1，或y=C1(2x+3)2， 于是 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 ln(lnu 一 1)=lnx+lnC，即 lnu 一 1=Cx，或
10、 u=eCx+1， 故原方程的通解为 y=xe Cx+1【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由 f(x)=1+ 1xf(t)dt 得 xf(x)=x+1xf(t)dt， 两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 f(x)= ，f(x)=lnx+C， 因为 f(1)=1，所以 C=1，故 f(x)=lnx+1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 所以原方程的通解为 y2(y+3x)=C【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【
11、正确答案】 解得 u2=lnx2+C，由 y(e)=2e，得 C=2，所求的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 uarctanu=x+C， 所以原方程的通解为 yarctan(x+y)=C【知识模块】 微积分27 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xex 一 x，原方程化为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 f(x)=ex 一 0x(xt)f(t)dt，得 f(x)=ex 一 x0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对 x
12、 求导，得 f(x)=ex0xf(t)dt，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ 在 f(x)=ex0x(xt)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex0xf(x)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 1xf(t)dtf(x)=x，两边求导得 f(x)一 f(x)=1，解得 f(x)=cex+1，而 f(1)=一 1，所以 f(x)=12Cex1【知识模块】 微积分31 【正确答案】 ， 再由 y(0)=1得 C2=1，所以 y=arctanx+1【知识模块】 微积分
