1、考研数学三（微积分）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）2 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数3 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x=0 时， ( )（A）不存在（B）
2、等于 0（C）等于 1（D）其他4 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)一 f(a 一 h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续二、填空题5 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)=1，则 =_6 设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_7 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =_8 设 f(x)连续，且 =_9 =_10 =_11 设 f(x
3、)可导且 f(x)0，则 =_12 设 f(x)在 x=0 处连续，且 =一 1，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_13 当 x0 时， 一 1cos 2x 一 1，则 a=_14 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_15 设 在 x=0 处连续，则 a=_16 设 在 x=0 处连续，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型18 求函数 y=ln(x+ )的反函数19 求极限20 求极限21 证明：22 设 f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其
4、中 a1，a 2， n 为常数，且对一切 x 有d(x) e x 一 1证明：a 1+2a2+nan123 求极限24 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x25 设 f(x)在a，+)上连续，且 存在证明：f(x)在a，+) 上有界26 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()27 求28 设 ，求 a，c 的值29 已知 ，求 a，
5、b 的值30 设 ，求 a，b 的值31 确定 a，b ，使得 x 一 (a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小32 设 f(x)连续可导，33 求34 设 ，求 f(x)的间断点并分类考研数学三（微积分）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 0，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 0，即 f(x)f(0)，选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答
6、案】 B【试题解析】 令 f(x)= ，显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，A 不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对；令 f(0+h)一 f(0 一 h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又0f(x) f(a)f(x)一 f(a)，根据夹逼定理， f(x)=f(a) ，选 B【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】
7、 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 -3【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 -2【试题解析】 f(0+0)= ，f(0)=f(0 一 0)=a，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=一 2。【知识模块】 微积分16 【正确答案】
8、-1；1【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=一 1，b=1【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 首先， 其次f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 =e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23
9、 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 x n+1xn=f(xn)一 f(xn-1)一 f(n)(xn 一 xn-1)，因为 f(x)0，所以 xn+1一 xn 与 xn 一 xn-1 同号，故x n单调【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 =A，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时，f(x)一 A1， 从而有 f(x) A+1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取 M=maxA+1，k) ，对一切的 xa，+)，有f(x)M 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为
10、f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i)M(i=1，2，n)， 注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 k imkif(xi)kiM(i=1，2 ，n) ， 同向不等式相加，得 (k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 y=x 一(a+bcosx)sinx， y=1+b sin 2x 一(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(n+bcosx)sinxasinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y“(0)=0 ， 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 x=k(k=0，一 1，一 2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点【知识模块】 微积分
