1、考研数学三（微积分）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )（A）1（B）（C）（D）3 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）一 f“(a)（B） f“(a)（C） 2f(a)（D） f“(a)4 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 ，则( )（A）f(0)是 f(c)的极大值（B） f(0)
2、是 f(c)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 ，又 f(x)=一 2x2+0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，0) 为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续7 f(x)g(x)在 x0
3、 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导8 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续9 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（A）f“(x)0，f(x)0（B） f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)0（D）f“(x)0，f(x)0二、填空题
4、10 设 f(x)= ，则 f(x)=_11 设两曲线 y=x2+ax+b 与一 2y=一 1+xy3 在点(一 1，1)处相切，则a=_，b=_12 设函数 =_13 设 f(x)二阶连续可导，且 =_14 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=一 2，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 x=x(t)由16 设 x3 一 3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点17 x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x) 可导，且 f(x)= ，f(0)=3，求 “(3)18 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt
5、，且 求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性19 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)-2ex(x 一 1)2，研究函数f(x)在 x=1 处的可导性20 设 ，求 y21 设 f(x)= 且 f“(0)存在，求 a，b，c 22 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0 证明： (1)存在 ( ，1)，使得 f()=； (2)对任意的 k(一 ， +)，存在 (0，)，使得 f()一 kf()一 =123 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()
6、=024 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，125 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得2e2-=(ea+eb)f()+f()26 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 证明：存在 (0，1)，使得f“()827 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于428 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)1(x 0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f(x) (
7、x0，1)29 设 f(x)在( 一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x； (2) 30 设 f(x)在a，b是二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()f(a) 一 f(b)31 f(x)在-1， 1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (一1，1)，使得 f“()=332 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得33 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，
8、f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明： f(c)2a+ 考研数学三（微积分）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x 一 a 时，有 f(x)0，于是=f(a)，即f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解
9、析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(x-t)dt=0xg(t)dt 得 f(x)=一 2x2+0xg(t)dt，f“(x)=一 4x+g(x)， 即当 x(一 ，0)时，f“(x)0；当 x(0，) 时，f“(x)0，故 (0，0)为 y=f(x)的拐点，应选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处
10、左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左右导数不一定相等，选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= ，显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)一 1 在任何一点都可导，选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选 C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=一 f(x)，
11、f(一 x)=f(x)，f“(一 x)=一 f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，选 A【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 微积分11 【正确答案】 3；3【试题解析】 因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x2+ax+b 得=a 一 2，再由一 2y=一 1+xy3 得 ，且两曲线在点(一 1，1) 处相切，则 a 一 2=1，解得 a=b
12、=3【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 e 2【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 x 3 一 3xy+y3=3 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以x 一 1，得 【知识模块】 微积分20 【正确答案
13、】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)一 x，(x)在0，1上连续， ，(1)=一 10，由零点定理，存在 ( ，1)，使得 ()=0，则 f()=(2)设 F(z)=e-kx(x)，显然F(x)在0 ，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在(0， )，使得 F()=0，整理得 f()一 kf()一 =1【知识模块】 微积分23 【正确答案】 而 (x)=exf(x)+f“(x)且 ex0，所以 f()+f“()=0【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以
14、f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)一 f(0)=f()x 0f() ， 其中 (0，x 0)，故 M=0，于是 f(x)0，x0，1 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得即2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2-=(ea+eb)f()+f()【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可
15、导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， =一 1，由闭区间上连续函数最值定理知， f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知f(c)=0， 根据泰勒公式所以存在 (0，1)，使得 f“()8【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式 两式相减，得 S“(2)一 S“(1)=一 8S“( 1)+S“( 2)8 当S“( 1)S“( 2)时，S“( 1)4；当S“( 1)S“( 2)时，S“( 2)4【知识模
16、块】 微积分28 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f“(x)C(一 1，1) 且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的(2)由泰勒公式，得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f“(1)+f“(2)=6因为 f(x)在 一 1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在1， 2上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值M，故 2mf“(1)+f“(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (一 1，1)，使得 f“()=3【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分
