1、考研数学三（微积分）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)=0xf(du)du，其中 f(x)= 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点2 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） -xaf(t)dt （C） -x0f(t)dtx0f(t)dt（D） -xxtf(t)dt3 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f
2、(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt4 若由曲线 y= ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) （A）y=（B） y= +24（C） y=x+1（D）y=二、填空题5 =_6 =_7 =_8 =_9 设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_10 设函数 y=y(x)满足y= x+o(x)，且 y(1)=1，则 01y(x)dx=一11 设 ，则 a=_12 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx=_13 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt
3、= arctanx2，f(1)=1，求 12f(x)dx=_14 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 =_15 I(x)= 在区间-1，1上的最大值为 =_16 设 f(x)的一个原函数为 =_17 y= 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：19 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令20 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 01f2(x)dx121 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf2(x)dx abf(x)2dx2
4、2 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) abf(x) dx(axb)23 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：24 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 01f(x)dx 25 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：26 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx27 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平
5、面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积28 求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积29 求椭圆 所围成的公共部分的面积30 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积31 证明： ，其中 a0 为常数32 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t 一 t2)sin2ntdt 的最大值不超过33 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足： f(tx1+(1 一 t)x2
6、)tf(x1)+(1 一 t)f(x2)证明：34 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx35 令 f(x)=xx，求极限考研数学三（微积分）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(O ，2)内连续，选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)=-xxtf(t)dt=20xtf(t)dt，
7、(x+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf(t)dt+2xx+Ttf(t)dt(c)，选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)一 f(-t)为偶函数，所以 0xtf(t)一 f(-t)dt 为奇函数，A 不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，C 不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以 D 不对；令 F(x)=0xtf(t)+f(-t)dt，F(-x)= 0-xtf(t)+f(-t)-dt=0x(一 u)f(u)+f(-u)(一 du)=F(x)，选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块
8、】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 e -1-e【试题解析】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 一 0f(x)sinxdx =一0ecosx“sinxdx=ecosx 0=e
9、-1 一 e【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ln3【试题解析】 故 I(x)在 一 1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x) = f()xMx
10、，x 0，a， 从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx= 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由 1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx， 得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)=axf(t)dt，由柯西不等式得 f(x)=(axf(f)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(x 一 a)abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(xa)dx abf2(x)dx= abf2(x)dx【知识模块】 微
11、积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x) 根据积分中值定理， abf(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ cf(x)dx，取绝对值得 f(c)f()+ cf(x)dxf() +abf(x)dx，即 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 g(t)=Int(t0)，g“(t)= 0，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x 0)+g(x0)(t 一 x0)gf(x)g(
12、x 0)+g(x0)f(x)一 x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1)直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积【知识模块】 微积分29 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (1) 设对任意的 M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M(x 0，y 0，z
13、)，T(0 ，0，z)，由MT=M 0T，得 x2+y2=x02+y02， S：x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即 S： x2+y2=2z2 一 2z+1(2)对任意的 z0，1 ，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2+y2)=(2z2 一 2z+1)于是 V=01A(z)dz=【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最
14、大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x x2)sin2nx(xx2)x2n=x2n+1 一 x2n+2，于是 f(x)f(1)=l(xx2)sin2nxdx 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 因为 abf(x)dx=(b 一 a)01fta+(1 一 tb)dt 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 aabx(x)dx=x0b把 x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)一 x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 微积分35 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=x 一x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= ，对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，【知识模块】 微积分
