1、考研数学三（微积分）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( )2 设 D=(x， y)0x ， 0y，则 等于( )3 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题4 设 f(u)连续，则 0xduu1vf(u2-v2)dv=_5 设 f(x)= ，则 0xf(x)dx=_6 设 f(x)连续，则 =_7 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则=_8 设 a0，f(x)=g(x)=_9 设 f(x)= =_三
2、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算11 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)=12 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)13 计算二重积分14 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24，x 2+y22x15 计算 (x+y2)dxdy，其中 D：x 2+y22x+2y 一 116 设 f(x，y)=17 计算 I= ，其中 D=(x，y)一 1x1，0y2)18 计算19 计算 围成20 计算21 计算 ，其中 D 为单位
3、圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分22 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)围成的区域23 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?24 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy=25 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得26 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a
4、 围成区域的形心，证明： 27 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：28 设 f(x)为连续函数，计算 ，其中 D 是由y=x3， y=1， x=一 1 围成的区域29 交换积分次序并计算30 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：31 证明：用二重积分证明考研数学三（微积分）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(
5、x，y)0x，0yx，选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 解得 a=2，选 B【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y)一 x+ ，0y1)上，f(y)=y；在 D2：02+y1上，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D2=(x，y)yx1
6、一 y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D：x 2+y22x+2y 一 1 可化为 D： (x 一 1)2+(y 一 1)21，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 D1=(x，y)I 一 1x1，0yx 2，D 2
7、=(x，y)l 一1x1，x 2y2，【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(z 一 a)2=R2，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt， 则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)一 F(x)dx =F(b)abf(x)dxabf(x)F(x)dx=F2(b)一 abF(x)dF(x) =【知识模块】 微积分25 【
8、正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx0
9、1yf(y)dy01f(x)dx01yf1(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy，根据对称性，I= 01dx01xf(x)f(y)f(y)一 f(x)Jdy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y2R2，x0，y0)， S=(x，y)0xR，0yR ， D 2=(x，y)x 2+y22R2，x0，y0)【知识模块】 微积分
