1、考研数学三（微积分）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=sin(cos x)，(x)=cos(sin x)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数2 设 f(x)=u(x)+(x)，g(x)=u(x) 一 (x)，并设 都不存在，下列论断正确的是( )3 当 x0 时，f(x)= 为 x 的三阶无穷小，则 a，b 分别为 ( )（A）1，0（B）（C）（D）以上都不对4 设函数 f(x)
2、在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）|f(x)|5 当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 ( )6 若 在(一，+) 上连续，且 ，则 ( )（A）A0，k0（B） A0，k0（C） A0，k0（D）A0，k07 设 f(x)= ，则下列结论中错误的是 ( )（A）x=-1，x=0，c=1 为 f(x)的间断点（B） x=-1 为无穷间断点（C） x=0 为可去间断点（D）x=1 为第一类间断点二、填
3、空题8 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_9 = _ 10 = _ 11 设 则 ， 的值为 _ 12 当 x1 时若有 +1A(x+1) k，则 A=_ ，k= _ 13 已知数列 = _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求函数 的表达式，x0；15 求极限16 求极限17 求极限 ，a i0，且 ai1，i=1 ，2，n，n218 设19 设 =5，求 a，b 的值20 设函数 ，证明：存在常数 A，B ，使得当 x0 +时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+0(x2)，
4、并求常数 A，B21 计算22 设 x1=1， xn+1=23 计算24 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f(0) ，f“(0)以及极限25 试讨论函数 在点 x=0 处的连续性26 已知 是连续函数，求 a，b 的值27 设 为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a 的最小正值28 设 (x 一 1)(t 一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限29 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数
5、f(x)在任意点 x0 处连续考研数学三（微积分）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 注意在 内，sin x 是增函数， cos x 是减函数任取 x1，x 2；且 x1x 2，有 cos x1cos x 2，所以 sin(cos x1)sin(cos x 2)，即 f(x)是减函数；由于 sin x1sin x2，所以 cos(sin x1)cos(sin x2)，即 (x)是减函数【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 ，当 x0 时可排除(A)；令 u(x)=(x)= ，当 x0 时可
6、排除(B)；令 ，当 x0 时可排除(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sin x 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sin x一 sin x 在点 x0 处也连续，与已知矛盾【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0；又 =0，故 k0【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 去掉绝对值符号，f(x)写成分段函数，【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=-1，则
7、f(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证，假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)= f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)= f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(x)=-f(一 n)=-(一 na)=na所以对一切
8、整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 微积分9 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x一 1 时，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而原式【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识
9、模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所以 b=-4【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 从而得 f(0)=0，f“(0)=4【知识模块】 微积分25 【正确答案】 所以： 当 0 且 =-1 时，有 g(0 一 0)一 g(0+0)=g(0)=0，故 g(z)在 x=0 处连续； 当 0 且 -1 时，有 g(0 一 0)g(0+0)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点； 当 0时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以 x=1为无穷间断点【知识模块】 微积分29 【正确答案】 已知 f(x1+f(x2)一 f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)，两边取极限得到故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 微积分
