1、考研数学三（微积分）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 xx0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比位低阶的无穷小2 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0， 则它的图形是( )3 设 f(x)在点 x=a 处可导，则 等于 ( )（A）f(A)（B） 2f(A)（C） 0（D）f(2a
2、)4 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 =-1，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 25 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f“(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界6 设 f(x)=f(-x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f“(x)0，则
3、f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹7 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线8 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2
4、)一 f(x1)=(x2x1)f()，x 1x 2二、填空题9 曲线 的凹区间是_10 曲线 的全部渐近线为 _ 11 设 y=ln(1-3-x)，则 dy= _ 12 设 ，则 y|x=0 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 f“f(x)都存在，且 f-1f-1(x)0证明：14 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1 ，计算 f(n)(2)15 讨论方程 2x2 一 9x2+12xa=0 实根的情况16 证明：方程 x=ln x( 0)在(0 ，+) 上有且仅有一
5、个实根17 计算18 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+exx2y=0 所确定，求19 设 y=sin4x 一 cos4x，求 y(n)20 顶角为 65，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?21 若函数 f(x)在(一，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1，证明：f(x)=e x21 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(A)=f(b)=0求证：22 存在 (a，b) ，使 f
6、()+f()=0；23 存在 (a，b)，使 f()+f()=024 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使|f“()|425 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2) 证明：当 n 为奇数时，(x，f(x 0)为拐点26 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明： ， (a，b)，使得27 设 f(x)在 a，b上有定义，在(a，b) 内可导，ba4 求证： (a，b)，使得f()1+f 2()27 设函数 f(x)
7、在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证：28 若 x0(a， b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x0)f(x)-f(x0)(x-x0)，当且仅当x=x0 时等号成立；29 若 x1，x 2，x n (a，b)，且 xix i+1(i=1，2，n 一 1)，则其中常数 ki0(i=1 ， 2，n) 且30 求证：当 x0 时，不等式 成立31 证明：32 证明：当 x0 时，有33 设需求函数为 p=a 一 bQ，总成本函数为 C= 一 7Q2+100Q+50，其中a，b0 为待定的常数，已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 时，总利润是最大的，求总利润最大时的产量，并
8、确定 a，b 的值考研数学三（微积分）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，而 dy|x=x0 =f(x0)x=x，因而 =1，即dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 凑导数定义，【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1， f(1)处的
9、切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=-2【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0，x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在 x0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0 f(x)在(0，+)内单调增；f“(x)0 f(x)在(0，+) 内为凸曲线。由 f(x)=f(一 x) f(x)关于 y 轴对称 f(x)在(一 ，0)
10、 内单调减，为凸曲线，选(B)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由渐近线的求法可知应选(D)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y“0，曲线是凹的；当x0 时，y“0，曲线是凸的【知识模块】 微积分10 【正确答案】 x=0， 和 y=1【试题解析】 因为【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【
11、知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设 x=f(y)。则其反函数为 y=f-1(x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f“(x)=e f(x)2.f(x)=e2f(x)，两边再求导数得 f“(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)，两边再求导数得 f (4)(x)=2e3f(x)3f(x)=3!e4f(x)，由以上规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n1)!enf(x)，所以 f(n)(2)=(n1)!en【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令
12、 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a，讨论方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 实根的情况，即是讨论函数 f(x)零点的情况显然，所以，应求函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a 的极值，并讨论极值的符号 由 f(x)=6x2 一 18x+12=6(x 一 1)(x 一 2)得驻点为 x1=1，x 2=2，又 f“(x)=12x 一 18，f“(1)0，f“(2)0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5 一a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4 一 a (1)当极大值 f(1)=5 一 a0，极小值f(2)=4 一 a0，即 4a 5 时，
13、f(x)=2x 39x2+12xa 有三个不同的零点，即方程2x39x2+12xa=0 有三个不同的实根 (2)当极大值 f(1)=5 一 a=0 或极小值 f(2)=4一 a=0，即 a=5 或 a=4 时，f(x)=2x 39x2+12xa 有两个不同的零点，即方程 2x3一 9x2+12x 一 a=0 有两个不同的实根 (3)当极大值 f(1)=5 一 a0 或极小值 f(2)=4一 a0，即 a5 或 a4 时，f(x)=2x 39x2+12x 一 a 有一个零点，即方程 2x3 一9x2+12x 一 a=0 有一个实根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)=ln xx，
14、则 f(x) 在(0，+)上连续，且 f(1)=-10，=+，故 1，当 xX 时，有 f(x)M0，任取 x0X ，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理，至少 (1，x 0)，使得 f()=0，即方程 x2=ln x 在(0，+) 上至少有一实根。又 ln x 在(0， +)上单调增加，0，一 x也单调增加，从而 f(x)在(0，+)上单调增加，因此方程 f(x)=0 在 (0，+) 上只有一个实根，即方程 x=ln x 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 微积分17 【正确答案】 此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式【知识模块】 微积分18 【正确答案
15、】 方程两端对 x 求导【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2x)(sin2xcos2x)=-cos 2x，y (n)=【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 121)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 欲证 f(x)=ex，一种思路是移项一边作辅助函数 (x)=f(x)一 ex，如能证明 (x)0，从而
16、(x)C由条件 (0)=f(0)一 1=0，得 C=0，即 f(x)-ex0，于是f(x)= ex但 (x)一 ex(x)一 ex，利用已知条件 (x)=f(x)得 (x)一 f(x)一 ex，要证(x)0，即要证 f(x)=ex，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通另一种思路是由 f(x)=ex 两边同除以 ex 得辅助函数 (x)= 若能证明 (x)=0，从而(x)=C，由条件 (0)= =1 得 C=1，即因此本题利用第二种思路【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (A)=(b)=0，由
17、罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设 F(x)= ，则 F(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且F(A)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使F(= ，即 f()+f()=0【知识模块】 微积分24 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得从而，在 1 和 2 中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为，就有 (0，1)，使|f“()|4 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限当 f(2k+1)(x0
18、)0 时， 但 xx 0+时，f“(x)0；xx 0-时，f“(x) 0，故 (x 0， f(x0)为拐点【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为【知识模块】 微积分27 【正确答案】 根据条件 b 一 a4，可以取得 x1，x 2(a，b)，使得 x 2 一x14又因为 arctan f(x 2)一 arctan f(x1)|arctan f(x2)|+|arctan f(x1)|，所以对函数arctanf(x)在区间x 1，x 2上用拉格朗日中值定理，便知 (x1，x 2)，使得【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分28 【正确答案】 将 f(x)在 x0 点泰勒展开，即 f(x)=
19、f(x0)+f(x0)(xx0)+ (xx0)2， 在 x0 与 x 之间由已知 f“(x)0，x(a ，b)得 (xx0)20，当且仅当x=x0 时等号成立，于是 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，即 f(x 0)f(x)一 f(x0)(x-x0)，当且仅当 x=x0 时等号成立【知识模块】 微积分29 【正确答案】 f(x0)f(xi)一 f(x0)(xi 一 x0)，i=1，2，n，当且仅当 xi=x0 时等号成立 而 x0x1 且x0xn，将上面各式分别乘以 ki(i=1，2，n)后再求和，有【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设 f(x)=arctan x+ ，则 f(+
20、)= =0因为 f(x)=0，所以 f(x)单调递减，且当 0x+时，f(x)f(+)=0即【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 用拉格朗日中值定理，且函数 f(t)=ln t 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，所以存在 (x，1+x)，使得【知识模块】 微积分33 【正确答案】 总收益：R=Qp=aQ 一 bQ2，Q= L(Q)=RC= +(76)Q2+(a 一 100)Q 一 50于是有：L(Q)=-Q 2+2(76)Q+(a 一100)由题设 a，b，Q 应满足解得：a=111， ，Q=3 或 a=111，b=2，Q=11 (1) 若 a=11 1，b=，Q=3，此时 L(3)=0，L“(3) 0，但 L(3)0 不符合题意； (2)若a=111，b=2，Q=11，此时 L(11)=0，L“(11) 0，且 L(11)0因此 a=111，b=2 为所求常数，此时对应最大利润的产量为 Q=11【知识模块】 微积分
