1、考研数学三（微积分）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 +6x+1 的图形在点(0，1) 处的切线与 x 轴交点的坐标是( )（A）(一 1，0)（B）（C） (1，0)（D）2 函数 f(x)=2x+ ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=-1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=-1 处取极小值，x=0 处取极大值3 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(
2、一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加4 两曲线 y= 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( )5 设函数 在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续6 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导，导函数连续7 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(一 1)n-1(n 一 1)!
3、（B） (一 1)n(n1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!8 给出如下 5 个命题：(1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x00是 f(x)的极大值点，则一 x0 必是一 f(-x)的极大值点；(2)设函数 f(x)在a，+) 上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a，+) 内单调增加；(3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，且 y(x0)=0，x 00，则 f(x0)是 f(x)的极大值；(4) 设函数 y=y(x)由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 所确定，
4、则 y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；(5)设函数 f(x)=xex，则它的 n 阶导数 f(n)(x)在点 x0=-(n+1)处取得极小值。正确命题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题9 若函数 f(x)一 asin x+ 处取得极值，则 a=_10 曲线 的斜渐近线方程为 _ 11 = _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)=x3+4x2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况13 设 y= ，求 y14 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面
5、积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?14 设 fn(x)=x+x2+xn，n=2，3，证明：15 方程 fn(x)=1 在0，+)有唯一实根 xn；16 求17 f(x)在( 一，+)上连续， =+，且 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明： f(f(x)至少在两点处取得最小值18 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6) 处的切线方程19 试证明：曲线 恰有三个拐
6、点，且位于同一条直线上20 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导，试证：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 =f()一 f()成立21 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb试证：在 a，b内存在 ，使得21 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g“(x)0 ，f(A)=f(b)=g(A)=g(b)=0证明：22 在(a，b)内，g(x)0 ；23 在(a，b)内至少存在一点 ，使24 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(A)=f(b)=g(A)=0证明： (a，b)，使f“()g()+2f()g()+f()g“(
7、)=025 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一1又 xx 0 时， (n)(x) (k)(x0)试证：当 xx 0 时，(x)(x)26 设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+) 内有界，证明：f(x)在(一， +)内有界26 已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一(f(x) 20 (xR)27 证明：f(x 1)f(x2)28 若 f(0)=1，证明：f(x)e f(0)x (xR)29 设 ba e，证明：a bb a考研数学三（微积分）模拟试卷 52 答案与解析一
8、、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一1=6x，因此与 x 轴的交点为【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=-1，且当 x=0 时，f(x)不存在，f(x)在 x=-1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=-1 处取极大值；在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确【知识模块】 微积分4 【正确答
9、案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 ，故相交于该点。将 x=2，y= 代入y=ax2+b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将 x=2 代入得【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则-f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意xa
10、，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)-f(A)=f()(x-a)，则由 f“(x)0 知，f(x)在(a，+) 内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因f(x0)=0，故所给定的方程为 ，显然，不论 x00，还是 x00，都有 f“(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f“(x0)0 得 f(x0)是 f(x)的极小值，故该结论错误；对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y 2y一 2yy+xy+yx=0， 再求导，得 (3y2-2y+x)y“+(6y-2
11、)(y)2+2y=1 令 y=0，则由式 得 y=x，再将此代入原方程有 2x3-x2=1，从而得 y=y(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得y“|(1，1) 0，所以唯一驻点 x0=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确； 对于(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex 的 n+1 阶导数 f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f (n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n-1)=(x+n)ex， f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex 令 f(n+2)(
12、x)=0，得 f (n)(x)的唯一驻点 x0=-(n+1)；又因 f(n+2)(x0)=e-(n+1)0，故点 x0=一(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其极小值为 f(n)(x0)=-ef-(n+1)，该结论正确 故正确命题一共 3 个，答案选择(B)【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以斜渐近线为y=2x+1【知识模块】 微积分11 【正确答案】 x20cost2dt-2x2cos x4【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12
13、 【正确答案】 因为 f(一 5)=-110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在 一5，一 1及 一 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1(-5，-1)及 2(-1，0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点 3，使得f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0 在(一， 0)内只有两个不等的实根【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 先求曲线
14、处的切线方程所以切线斜率 ，切线方程为【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理， (0，1)，使 fn(xn)=1， n=2 ，3，又 x0 时，f n(x)=1+2x+nxn-10，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由(1)可得，x n(0，1)，n=2，3，所以x n有界 又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2， 3，所以 x n+xn2+xnn=xn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1，即(x n
15、+xn2+xnn)一(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1，n=2，3，即x n严格单调减少。于是由单调：有界准则知=1因为0x n1，所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x0，则 F(x)在(一，+)上连续，且 F(x0)0， F(x)= +，由 F(x)=+，知 x 0，使得F(A)0； x 0，使得 F(b)0，于是由零点定理，知 (a，x 0)，使得 F(x1)=0； (x0，b)，使得 F(x2)=0，即有 x1x 0x 2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得f(f(x1)=f(x0)=f(f(x2)【
16、知识模块】 微积分18 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x 一6)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 它们在区间a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且 G(x)= 满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点 ，使得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因为 f(x)在a
17、，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1)M， mf(x 2)M， 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0， 其中 1(a，c) ， 2(c，b)，对 g(x)在1， 2上运用罗尔定理，可得 g“(3)=0 因已知 g“(x)0，故 g(c)0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 F(x)=(x)g(x)一 f(x)g(x)在a ，b上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)
18、=0故【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(6)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F“()=0即 f“()g()+2f()g()+f()g“()=0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 u(n-1)(x)=(n-1)(x)一 (n-1)(x) 在 x0，x上用微分中值定理得 u (n-1)(x)一 u(n-1)(x0)=u(n)().(xx0)，x x 又由 u(n)()0 可知 u(n-1)(x)一 u(n-1)(x0)0，且 u(n-1)(x0)=0，所以 u(n-1
19、)(x)0，即当 xx 0 时， (n-1)(x) (n-1)(x) 同理 u(n-2)(x)=(n-2)(x)一 u(n-2)(x)0 归纳有 u(n-3)(x)0，u(x)0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得对 (一 ，+)，恒有 |f(x)|M0，|f“(x)|M 2由泰勒公式，有所以函数 f(x)在(一 ，+)内有界【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 g(x)=g(0)+g(0)x+f(0)x，即 f(x)ef(0)x【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设 ，其中 lnxln e=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减。所以，当 bae 时，【知识模块】 微积分
