1、考研数学三（微积分）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 在 x= 处的 ( )2 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 =-1，则函数 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值3 设 a 为常数， f(x)=aex 一 1 一 x 一 ，则 f(x)在区间(一 ，+)内 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f
2、(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点4 若 f(x)在 x0 点可导，则|f(x)|在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续5 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sin x|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=06 曲线 当 x-时，它有斜渐近线 ( )（A）y=x+1（B） y=-5g+1（C） y=-x 一 1（D）y=x 一 17 设 f(x)在C，1上连续，在 (0，1)
3、内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )二、填空题8 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_9 曲线 y= 的渐近线是_10 若 ，则 f(t)= _ 11 设 y=cos x2sin2 ，则 y= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求 的反函数的导数13 设 y=y(x)是由 sin xy= 确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值14 设 又 f(x)在点 x=0 处可导，求 F(x)=f(x)的导数14 设 fn(x)=1 一(1 一 cos x)n，求证：
4、15 对于任意正整数 n， 中仅有一根；16 设有17 设 T=cos n，=arccos x，求18 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=-1，求 f(x)，并讨论 f(x)在(一 ，+)内的连续性18 求下列函数的导数：19 y=aax+axx+axa+aaa(a0)；20 y=ef(x).f(ex)；21 22 设 f(t)具有二阶导数， =x2，求 f(f(x)，(f(f(x) 23 作函数的图形24 设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ，使得 f()=25 设 f(x)在闭区间一 1， 1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=
5、0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在一 1，1 内存在 ，使得 f“()=326 在区间0 ，a上|f(x)|M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值证明：|f(0)|+|f(A)|Ma27 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(A)=f(b)=0证明： (a，b)，使28 设 n 为自然数，试证：29 证明：当 x0 时，不等式 1+x 成立29 已知某种商品的需求量 z 对价格 p 的弹性为 =-2p2，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件) ，30 确定需求函数；31 若价格服从1，2 上的均匀分布，计算期望收益值考研数学三（微积分）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给
6、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，当 0|xx 0| 时，0，由于(x 一 x0)20，于是 f(x0)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)，x 0为极大值点故选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题由于 e-x0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(
7、 一) 0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除 (A)函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，|f(x)|=|x 2|在 x=0 处也可导，排除(C)，(D)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜渐近线 y=-x 一 1，应选(C)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf
8、(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得 (xf(x)|x=0，即 f()+f()=0，有 f()= ，所以选(A) 选项(B)，(C)，(D)可用反例 y=1x 排除【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2 a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=1【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】
9、(2t+1)e 2t【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 先求 yx，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 将方程两边对x 求导数，得 将x=0，y(0)=e 2 代入，有 将式两边再对 x 求导数，得 将x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=ee4 代入，有 故y“(0)=e3(3e3 一 4)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，用导数定义求导数得【知识模块】 微积分【知识模
10、块】 微积分15 【正确答案】 (1)因为 fn(x)连续，又有 fn(0)=1 ，所以由介值定理知使得 fn()= 又因为为 fn(x)=-n(1 一 cos x)n-1sin x0， ，所以 fn(x)在 内严格单调减少。因此，满足方程 fn(x)= 的根 是唯一的，即fn(x)= 中仅有一根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为由保号性知，0，当 nN 时，有 由 fn(x)的单调减少性质知，由夹逼准则知【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 当 x3 时，f(x)可导，且故 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(x)在(一( ，+) 内连续
11、【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=a ax.ln axx.axx.lna(xx)+axa.ln a.axxa-1，其中，(x x)=(exlnx)=(lnx.(ln x+1)=xx(ln x+1)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 y=e f(x).f(x)f(e)+ef(x).f(ex)ex【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 ，则 f(t)=4t2，即 f(x)=4x2f(x)=8x，由函数概念得 f(f(x)=f(8x)=4(8x)2=256x2， (f(f(x)=f(f(x).f(x)=8f(x).8x=3
12、2x 2.8x=256x3【知识模块】 微积分23 【正确答案】 定义域 (一 ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性铅直渐近线： 无斜渐近线 作图(如图122) 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因 f(x)和 g(x)=cos 2x 在 内可导，且 g(x)=(cos 2x)=-2sin 2x0，x 故由柯西中值定理知，存在【知识模块】 微积分25 【正确答案】 f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx0)+ (x0)(xx0)2+ ()(xx0)3取x0=0， x=1 代入， f(1)=f(0)+ f“(0)(10)2+ f“(1)(10)3， 1(0，1) 取x0=0， x=-1 代
13、入，因为 f“(x)在一 1，1 上连续，则存在 m 和 M，使得 一 1，1，有 mf“(x)M，mf“( 1)M，mf“( 2) f“(1)+f“(2)M， 代入式，有m3M，由介值定理， E-1，1，使得 f“()=3【知识模块】 微积分26 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0 f(x) 在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f(c)一 f(0)=cf“(1)， 1 (0，c)， f(a) 一 f(c)=(a一 c)f“(2)， 2E(c，a) ， 所以 |f(0)+|+|f(a)|=c|f“( 1)|+(a 一 c)|f“(2)|cM+(a
14、一 c)M=aM【知识模块】 微积分27 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式故原命题得证【知识模块】 微积分28 【正确答案】 右端不等式等价于证明从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当 x+ 时，f(x)趋于零，所以，当 x0 时，f(x)0进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数类似可证明：当 x0 时，g(x)0，从而对一切自然数 n，左端不等式成立【知识模块】 微积分29 【正确答案】 构造辅助函数【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由弹性公式： 积分 ln x(p)=-p2+c1 x(p)=ec1.e-p2 一 c.e-p2由 x(0)=1 得 c=1，故 x(p)=e-p2【知识模块】 微积分31 【正确答案】 R=p.x(p)=p.e -p2，f(p)= ER=-+pe-p2f(p)dp =12pe-p2=【知识模块】 微积分
