1、考研数学三（微积分）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 =( )2 设 f(x)=0sin xsin 2tdt，g(x)= 02xln(1+t)dt则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是 ( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2，下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt4 设 F(x)是以 T 为周期的可微函
2、数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A） 0xf(t)dt（B） 0xf(t2)dt（C） 0xf(t)dt（D） 0xf(t)f(t)dt二、填空题5 已知 是 f(x)的原函数，则xf(x)dx=_6 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_7 积分 =_8 函数 F(x)=1x(1- )dt(x0)的递减区间为_9 =_10 设 f(x)是连续函数，且 0x3-1f(t)dt=x，则 f(7)=_11 =_ 12 设 f(x)连续，则 (0xtf(x2 一 t2)dt)=_13 = _ 14 函数 y=ln x 在区间1， e上的平均值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤。15 求16 求17 求不定积分18 计算定积分19 计算20 若 f(x)= ，试证：f(0)=021 设函数 f(x)连续，且 0x tf(2xt)dt= ，已知 f(1)=1，求 12 f(x)dx 的值21 设 f(x)在0，1上连续，且 01 f(x)dx=0， 01 xf(x)dx=1，证明：22 存在 x10，1使得|f(x 1)|4；23 存在 x20，1使得|f(x 2)|=424 以x表示不超过 x 的最大整数，g(x)=xx，求25 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0,x=2 所围成图形的面积最小26 求定积分的值27 设 g(x)
4、= ，f(x)= 0xg(t)dt(1)证明： y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 Oy 轴围成图形的面积28 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明：(a+b) ab f(x)dx2 ab xf(x)dx28 设 f(x)在区间-a，a(a0)上具有二阶连续导数， f(0)=029 写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；30 证明：存在 -a，a，使 a3f“()=3 -aaf(x)dx31 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(1)= 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 一 -1)f()考
5、研数学三（微积分）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t6，则 =t2，dx=6t 5dt【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为
6、 y=1+2x故应选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt+xx+Tg(t)dt=0xg(t)dt+0Tg(t)dt，若 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt，则 0Tg(t)dt=0反之，若 0Tg(t)dt=0，则0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅，因此，只有 0xf(t)f(t)dt是以 T 为周期的函数【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】
7、【知识模块】 微积分6 【正确答案】 xln x+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=lnu，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+lnu)du=ulnu+C，因此 f(x)=xln x+C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 要从变
8、上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 令 x=2，即得 f(7)=【知识模块】 微积分11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 1 一 x=sint，则【知识模块】
9、 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 若|f(x)|M，由 f(x)的连续性知要么 f(x)M，要么 f(c)一 M，均与 01f(x)dx=0 不符故必存在 x00，1 使|f(x 0)|M所以从而知 M4由于|f(x)|在0，1上连续，故至少存在一点 x10，1使|f(x 1)|=M4【知识模块】 微积分23 【正确答案】 若对一切 x0，1 均有|f(x)|4由连续性知，要么一切 x0，1均有 f(x)4，要么 f(x)一 4均与 01f(x)dx=0 不
10、符故知至少存在一点 x00，1使|f(x 3)|4，从而知存在 x 20，1 使|f(x 2)|=4【试题解析】 利用条件可知 01(x-k)f(x)dx=1取适当的 k 使 01|xk|dx 尽可能小，从而可估出 大于某值【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 nxn+1，【试题解析】 (1)证明能取到常数 k 使 0x f(t)dtkx 为周期 T 即可。(1)得到的表达式去求 即可得(2)但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非 f(x)恒为常数，对于(3) ，由于 g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论由于 g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积
11、分再用夹逼定理即得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 又S“(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得(1)因令 t=-u 有 f(-x)一 0-x e-t2dt=-0-x e-u2du=-f(x)，故 f(x)为奇函数。因(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 F(t)=(a+t)at f(x)dx 一 2 atf(x)dx，则 F(t)一 atf(x)dx+(a+t)f(t)一2
12、tf(t) =atf(x)dx 一(t 一 a)f(t)=at f(x)dxat f(t)dx =atf(x)一 f(t)dx 因为 axt，且f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)一 f(t)0，于是有 F(t)= at f(x)一 f(t)dx0，即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) ab f(x)dx-2abxf(x)dx0， 即(a+b)ab f(x)dx2 abxf(x)dx【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分29 【正确答案】 对任意 x-a，a，【知识模块】 微积分30 【正确答案】 -aa f(x)dx=-aa f(0)xdx+ 因为f“(x)在一 a，a上连续，由最值定理：mf“(x)M ，x 一 a，a mx 2f“(g)x2Mx2，【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x)，因，F(1)=e -1f(1)=e()=F()，故在上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0， 1)，使 f()=(1 一 -1)f()【知识模块】 微积分
