1、考研数学三（微积分）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 =( )2 设 N= -aax2sin3xdx，P= -aa(x3ex2-1)dx，Q= -aacos2dx，a0 ，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ3 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=abf(t)dt|x-t|(t)dt 的图形在(a ，b) 内 ( )（A）为凸（B）为凹（C）有拐点（D）有间断点4 下列反常积分收敛的是 ( )二、填空题5 xx(1+ln x)的全体原函数为_6 积分 =_7 =_8 已知 01 f(1)
2、=0，则 01xf(x)dx=_9 设 f(x)为连续函数，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=_10 设 f(3x+1)= ，则 01f(x)dx=_11 x3ex2 dx=_12 = _13 = _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求xsin 2xdx15 求16 求(x 5+3x22x+5)cos xdx17 计算定积分18 设 In= tannxdx(n1)，证明：(1)I n+In-2= ，并由此计算 In；(2)19 x)在 (一，+)上连续，且 f(x)=0xf(t)出，试证： f(x)=0(-x+) 20 设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0
3、又设 u(t)在区间0，a( 或a，0)上连续，证明：20 设 f(x)在a，b上存在二阶导数证明：存在 ，(a ，b)，使21 abf(t)dt= (b 一 a)3；22 abf(t)dt= (b 一 a)323 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qln x，求使得积分 I(p，q)= ee2(px+q一 ln x)dx 取得最小值的 p，q 的值24 设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积25 设常数 0a 1，求26 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(
4、x)dx=f(0)，证明：在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=027 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(A)=0，证明：27 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b) 内二阶可导，且 f(A)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明：28 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()；29 在(a，b)内至少存在一点 ,且 ，使得 f“()=f()30 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx31 设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明：考研数学三（微积分）模拟试卷 57 答案与
5、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3ex2 是奇函数，故 P= -aa(-1)dx=-2a0，Q=2 0acos2x3dx0，所以 PNQ【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 |xt|的分段性分解变形，有 (x)= ax(x 一 t)(t)dt+xb(t 一 x)(t)dt=xax(t)dtaxt(t)dt+xb t(t)dt一 xxb (t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而
6、答案不可能是(D)为讨论其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因 (x)= ax(t)dt一 xb(x)dt， “(x)=2(x)0，xa，b，故 y=(x)的图形为凹，应选 (B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 x 2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x 2)=(exlnx)=x2(1+ln x)，所以 x 2(1+ln x)dx=x2+C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 其中
7、C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 一 1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法， 原积分= 01xf(x)dx=01 xdf(x)=xf(x)|01 一 01f(x)dx=-1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式即知。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 (x2 一 1)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 sin x 2【试题解析】 令 xt=u，则原式=【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分
8、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 利用表格的形式：所以(x 5+3x22x+5)cos xdx=(x5+3x2 一 2x+5)sin x+(5x4+6x 一 2)cos x 一(20x 3+6)sin x-60x2cos x+120xsinx+120cos x+C【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 f(x)=0xf(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=cex，又 f(0)=
9、0，故f(x)0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由泰勒公式f(x0)+f(x0)(x 一 x0)， 介于x 与 x0 之间以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有0af(u(t)af(x0)+f(x0)(0a 一 x0a)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 (x)= x0x f(t)dt， 将 (x)在 x=x0 处展开成泰勒公式至 n=2，有【知识模块】 微积分22 【正确答案】 用常数 k 值法，令化简为 f( 1)一 f(a)一 f(1-a)(1 一 a)一 6K(1 一 a)2=0又由泰勒公式有 f(a)=f(
10、1)+f(1)(a 一 1)+ f“()(a 一 1)2，a 1由上述两式即可得，存在 (a，b)使即(2)成立【试题解析】 将 abf(t)dt 看成变限函数，用泰勒公式，设法消去式中不出现的项即可【知识模块】 微积分23 【正确答案】 要使 I(p，q)= ee2(px+g 一 ln x)dx 最小，直线 y=px+g 应与曲线y=ln x 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数。通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值。设直线 y=px+q 与
11、曲线y=ln x 相切于点 (t，lnt)，则有为极小值点，即最小值点。此时，q 0=【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由积分中值定理知，在 上存在一点 c1，使从而有 f(c1)=f(0)，故 f(x)在区间 0，c 1上满足罗尔定理条件，因此在(0 ，c 1)内存在一点 c，使 f(c)=0，c (0，c 1) (0，1)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)一 f(A)2=(axf(t)dt)2，而 ( axf(t)dt)2(x 一 a)ax(f(t)2dt(x-a)ab(f
12、(t)2dt(施瓦茨不等式)，所以 abf2(x)dxab(xa)dxabf(t)2dt= abf(x)2dx。【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得设 G(x)=e-xf(x)，则 G(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a)=G(b)=G(c)=0， G(x)=e -xf(x)一 e-xf(x)=e-xf(x)一 f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c， b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设 F(
13、x)=exf(x)一 f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且 F(1)=F(2)=0，则 F(x)=e xf“(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf“(x)一 f(x)对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得 F()=0，故有 f()=f()，且 i(i=1，2)【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)， mab g(x)dxab f(x)g(x)dxMab g(x)dx，【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设(t)= at f(x)dxat 一(t 一 a)2，则 F(A)=0，且【知识模块】 微积分
