1、考研数学三（微积分）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式A0，则 A( ) （A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）任一列向量是其余列向量的线性组合（D）必有一列向量是其余列向量的线性组合2 设 n 阶方程 A( 1， 2，, n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2，, n，()： 1， 2， n， ()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则 ( ) （A）向量组(I)与()都线性相关（B）向量组(I)线性相关（C）向量组(
2、)线性相关（D）向量组(I)与()中至少有一个线性相关3 设函数 f(x)在(，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( ) （A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） x0 必是函数f( x)的最小值点（C）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)（D）x 0 必是函数f(x)的极小值点4 函数 yC 1exC 2e2xxe x 满足的一个微分方程是( ) （A）y-y2y3xe x（B） yy2y3e x（C） yy2y3e x（D）yy2y3xe x5 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件是 ( ) （A）A 的列向量线性相关（B） A 的行
3、向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的列向量线性无关6 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX 0 和()ATAx0 必有( ) （A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）() 的解是 (I)的解，但(I)的解不是()的解7 若函数 yf(x)有 f(x0)12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy 是( ) （A）与x 等价的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）
4、与x 同阶的无穷小8 A 是 n 阶矩阵，且 A30，则( ) （A）A 2AE 与 A2AE 均可逆（B） A 可逆，EA 也可逆（C） A 不可逆，且 A2 必为 0（D）A 不可逆，EA 也不可逆二、填空题9 已知 f(lnx)1x，则 f(x)_10 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1E_11 设函数 f(u)可导，yf(x 2)当自变量 x 在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )12 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1
5、x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_13 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为_ 14 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_.15 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.17 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2
6、，3，若行列式 2A =-48，则 =_.18 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.19 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_20 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=21 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_22 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的
7、特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 求： 微分方程 yy2x 的通解24 设(x 0，y 0)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_考研数学三（微积分）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【知识模
8、块】 微积分7 【正确答案】 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 x+e x+C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1E 1.2.3.424【知识模块】 微积分11 【正确答案】 0.5【知识模块】 微积分12 【正确答案】 2【知识模块】 微积分13 【正确答案】 3y 12【知识模块】 微积分14 【正确答案】 2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 f=9y
9、 32【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 -1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 3【知识模块】 微积分19 【正确答案】 -27【知识模块】 微积分20 【正确答案】 n-m【知识模块】 微积分21 【正确答案】 -2 2n-1/3【知识模块】 微积分22 【正确答案】 24【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 方程 yy2x 对应的齐次方程的特征方程为 210，特征根为 1，2 i，故对应的齐次方程通解为 C1cosxC 2sinx 因为 a0 不是特征根，因此原方程的特解可设为 y*AxB， 代入原方程得 A2，B0所以原方程的通解为 yC 1cosxC 22sinx2x【知识模块】 微积分24 【正确答案】 y2axb，y(xo) 2ax 0b，过(x 0，y 0)点的切线方程为 yy 0(2ax 0b)(x x 0)，即 y(ax 02bx 0c) (2ax 0b)(xx 0)， 此切线过原点，把 xy0 代入上式，得ax 02bx 0c -2ax 02bx 0， 即 ax02c ，所以系数应满足的关系式为 ca0 或 ax02c，b 任意【知识模块】 微积分
