1、考研数学三（微积分）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= ，则 fx(2，1)= ( )2 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件3 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集4 函数 在点(0，0)处 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存
2、在（D）不连续，偏导数不存在5 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 06 设 =( )7 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在且不等于 0 及8 设 u=f(r)，而( )9 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( )10 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=z，u
3、 1(x，2x)=x 2，u g 二阶连续偏导数，则 u“11(x，2x)= ( )11 利用变量代换 u=x，= ，可将方程 =z 化成新方程 ( )12 若函数 ，其中 f 是可微函数，且 =G(x，y)u，则函数 G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2 一 y2（D）(x+y) 213 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)-dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=-2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a=-2，b=214 设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的
4、( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上15 设函数 z=(1+ey)cos xyey，则函数 z=f(x，y) ( )（A）无极值点（B）有有限个极值点（C）有无穷多个极大值点（D）有无穷多个极小值点二、填空题16 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_17 设 = _ 。18 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2，3)处取得极小值一 3，则常数a、b、c 之积 abc=_19
5、 设 u=x4+y4 一 4x2y2，则 = _ 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D=(x，y)|0x1，0y2 上的最大值和最小值21 设 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围22 设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(A)的必要条件是 f(a，b)=0 ，f x(a，b)=0，f y(a，b)0且当 r(a，b)0 时，b=(A)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(A)是极
6、小值，其中23 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值24 求内接于椭球面 的长方体的最大体积25 在第一象限的椭圆 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大26 厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为q1 和 q2，需求函数分别为 q1=2402p 1 和 q2=10 一 005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?27 在球面 x2+y2+z2=5R2(x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3l
7、n z的最大值，并利用所得结果证明不等式28 设 讨论它们在点(0，0)处的 偏导数的存在性； 函数的连续性； 方向导数的存在性； 函数的可微性29 设 A，B，C 为常数， B2 一 AC0，A0u(x ，y)具有二阶连续偏导数。试证明：必存在非奇异线性变换 = 1x+y，= 2 x+y(1， 2 为常数)，将方程30 设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，0)是否为 f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?31 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0上的最大值与最小值32 设 h(t)为三阶可导函
8、数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy(0，0)，h(1)=f“ yx(0，0)，且满足=x2y2z2h“(xyz)，求 u 的表达式，其中33 证明：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 g(x，y)= 下有最大值和最小值，且它们是方程 k2 一(Aa 2+Cb2)k+(ACB2)a2b2=0 的根34 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为 q1 和 q2，需求函数分别为：q 1=2 一 ap1+bp2，q 2=1 一 cp2+dp1m，总成本函数C=3+k(q1+q2)其中 a， b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4a
9、c(b+d)2，试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大35 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，如果生产函数为 Q=2x1x1，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素价格分别为 p1，p 2，试问产出量为 12 时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?36 设生产函数和成本函数分别为 当成本预算为 S 时，两种要素投入量 x 和 y，为多少时，产量 Q 最大，并求最大产量考研数学三（微积分）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f x(
10、2，1)=【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 若 2=z(x，y)= ，则(0，0) 为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)当 x0 时，为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点为 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续。由偏导数定义，可得f(x，y)在 (0，0)处的偏导数存在【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知
11、识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 将 x 视为常数，属基本计算【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 取 y=x，则故原极限不存在【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 141 中因果关系的认知：【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x 求导得 u“11+2u“12+2u“21+4u“22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u“11+2
12、u“12=2x， 将式及 u“12=u“21，u“ 11=u“22 代入 式中得 u“11(x，2x)=【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=axy 2+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知，3axy2 一 2sin(x+2y)=6xy2 一 bsin(x+2y)，故得 a=2，b=2【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 令 ，由于 B2 一 AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极
13、值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现，但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆得驻点为(k，cosk 一 1)，k=0，1，2， 又 z“xx=一(1+e y)cos x，z“ xy=一 eysin x，z“ yy=ey(cos x 一 2 一 y
14、) (1)当k=0，2，4，时，驻点为 (k，0)，从而 A=z“ xx(k，0)= 一 2，B=z“ xy(k，0)=0， C=z“yy(k，0)=一 1， 于是 B2AC=一 20，而 A=一 20，即驻点(k，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当 k=1，3，时，驻点为(k，一 2)，此时 A=z“xx(k，一 2)=1+e-2，B=z“ xy(k，一 2)=0，C=z“ yy(k，一 2)=一 e-2，于是 B2 一 AC=(1+e-2).e-20，即驻点(k，一 2)为非极值点； 综上所述，故选(C)【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 x 2+y21【
15、试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 微积分17 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式【知识模块】 微积分18 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(-2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出a、b、c 之值【知识模块】 微积分19 【正确答案】 12x 2 一 8y2【试题解析】 =12x2 一 8y2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题，由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2在闭区域 D 上连续，所以一定存
16、在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xy 一 x2一 y2 在闭区域 D 内部的极值：g(x，y)=(f xy“)2 一 fxx“fyy“=一 3 得 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D 内部的极大值再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy 一 x2 一 y2+y，解方程组在下面边界的端点(0，0) ，(1，0)处 f(0，0)=0 ，f(1 ，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上
17、的最大值为一 2，最小值为一 4；在左面边界上的最大值为 0，最小值为一 4；在右面边界上的最大值为 ，最小值为一2比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为一 4【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2，可得 f x(x，y)=2kx+2ky，f“ xx(x，y)=2k， fy(x，y)=2kx+2y ，f“ yy(x，y)=2， f xy(x，y)=2k， 于是， 若 =B2 一AC=4k2 一 4k0 且 A=2k0，故 0k1； 若=B 2 一 AC=4k2 一 4k=0，则 k=
18、0或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2，由于 f(x，0)0，于是点(O，0)非极小值点 当k=1 时， f(x， y)=(x+y)2，由于 f(x，一 x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0，1)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0而【试题解析】 本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值(2)函数
19、在区域内部无偏导数不存在的点 (3)再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时， z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y2 一 1)，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设该内接长方体体积为 ，p(x，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以=8xyz，x0，y0，z 0 且满足条件由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，
20、体积为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 椭圆上任意一点(x，y) 处的法线方程为根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 微积分26 【正确答案】 总收入函数为 R=p 1 q1+p2q2=24p1 一 02p 12+10p2005p 22总利润函数为 L=RC=32p1 一 02p 12 一 005p 22 一 1 395+12p2解此方程组得p1=80， p2=120 由问题的实际含义可知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为 L|p 1=80，p 2=120=605【知识模块】 微积分2
21、7 【正确答案】 作拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=ln x+ln y+3ln z+(x2+y2+z2 一 5R2)，并令 由前 3 式得 x2=y2= ，代入第 4 式得可疑点因 xyz3 在有界闭集 x2+y2+z2=5R2 (x0， y0，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=ln xyz3 在 x2+y2+z2=5R2 也有最大值，而唯一，故最大值为 又 ln x+ln y+3ln z，故 x2y2z227R10令 x2=a，y 2=b，z 2=c，又知x2+y2+x2=5R2，则 abc3 (a0，b0，C0)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 (
22、1) 按定义易知 fx (0，0)=0，f y (0，0)=0(2)以下直接证明 成立，由此可推知，均成立。事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0) 处可微。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 代入所给方程，将该方程化为由于 B2 一 AC0，A0，所以代数方程 A2+2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与2，取此 1 与 2，此时 12A+(1+2)B+C= (ACB2)0，代入变换后的方程，成为 =0变换的系数行列式 1 一 20【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由【知识模块】 微积分31 【正确答案】 先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点。由 f x(x，y)=2
23、x 一2xy2=0，f y(x，y)=4y-2x 2y=0，解得 x=0 或 y=1；x= 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算再考虑 D 的边界上的 f(x，y)，在 y=0 上，f(x，0)=x2，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x2+y2=4 上， f(x，y)| x2+y2=4=x2+2(4 -x2)-x2(4-x2)=一 5x2+8【知识模块】 微积分32 【正确答案】 u x=yzh(xyz)，u“ xy=zh(xyz)+xyz2h=f(xyz)， u“ xyz=h(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x2y2z2h“(
24、xyz)，故 3xyzh“(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得3th“(t)+h(t)=0设 =h(t)，得 3t+=0，分离变量，得 = 从而 h(t)= +C2又 f(x，0)=0，则易知 fx(0，0)=0 ，当(x ，y)(0 ，0)时，于是 fx(0，y)=-y，所以 f“xy(0，0)=一 1，由对称性知 f“yx(0，0)=1，所以 h(1)=一 1，h(1)=1 ，从而 C1= 这样 h(t)=【知识模块】 微积分33 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2
25、)分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1，y 1)，(x2，y 2)应满足方程记相应乘子为1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足 解得1=Ax12+2Bx1y1+Cy12。同理 2=Ax22+2Bx2y2+Cy22即 1， 2 是 f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值又方程组和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 2 一(Aa 2+Cb2)+(ACB2)a2b2=0，所以1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 微积分34 【正确答案】 收益函数 R=p1 q1+p2 q2=2p1 一 ap12+p2 一 cp22+(6+d)p1 p2 利润函数 L=RC=Ra+k(q1+q2) =2p1 一 ap12+p2 一 cp22+(b+d)p1p23 一 k(3 一 ap1+bp2一 cp 2+dp1) 此时(由实际情况)获得的利润最大【知识模块】 微积分35 【正确答案】 费用 c=p1 x1+p2x2，条件： 12=2x 1x2 构造拉格朗日函数： F(x1，x 2，)=(p 1 x1+p2x2)+(122x1x2)【知识模块】 微积分36 【正确答案】 令 F(x，y，)=ln(lx y)+(S 一 ax 一 by)=ln x+ln x+ln y+(S 一ax 一 by)，则 此时产量 Q 最大。【知识模块】 微积分
