1、考研数学三（微积分）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 则 I=( )2 二次积分 02dx0x2f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( )3 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若，则I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I24 累次积分 f(x2+y2)dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( )（A） 0d02Rsinf(r2)rdr（B）（C）（D） 0d02Rcosf(r2)rdr5 设
2、平面区域 D：(x 一 2)2+(y 一 1)21，若比较的大小，则有 ( )（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）不能比较6 化为极坐标系中的累次积分为 ( )7 设 D 由直线 x=0，y=0 ，x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则 f(x)dxdy= ( )（A）2（B） 0（C）（D）1二、填空题8 二重积分 ln(x2+y2)dxdy 的符号为_9 若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 =_10 设 D=(x， y)|1x2+y2e2，则二重积分 =_11 由
3、曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_，其值等于_12 设 I=01 dxexe2xf(x，y)dy，交换积分次序后 I=_13 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中 D：x 2+y2t214 (x2+y2)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D=(x， y)|axb， cyd)，若 f“xy 与 f“yx 在 D 上连续证明：16 设 D 为 xOy 平面上的区域，若 f“xy 与 f“yx 都在 D 上连续证明：f“ xy 与 f“yx 在D 上相等17 证明：18 设函数 f(x)在0，1上
4、连续证明： 01ef(x)dx01e-f(y)dy119 求 V(t)= (t 一 1)y+1)dxdy 的最大值，其中 Dt=(x，y)|x 2+y21， y1，2t319 变换下列二次积分的积分次序：20 21 01f(x，y)dx；22 23 24 计算二重积分 ，其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的封闭区域25 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0yx，x 2+y22x26 求二重积分 其中 D 是由曲线 ，直线 y=2，y=x 所围成的平面区域考研数学三（微积分）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
5、【正确答案】 A【试题解析】 积分域由两部分组成(如图 151)设故应选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 改变积分次序的步骤是：由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积分按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 积分域 D 为：0x ，0y2R，见图 153在极坐标系下 D 可表示为：0r2Rsin，0 ，故【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解
6、析】 由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即x+y 与 1 的大小。从几何的角度也就是考察圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系。因积分域 D 的圆心(2，1) 到直线 x+y=1 的距离 (1 为圆的半径)，故闭域 D在直线 x+y=1 的上方，即(x，y)D，有 x+y1，从而在 D 上(x+y) 2(x+y) 3，则I1I 2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由 y=1+ x2+(y 一 1)2=1(y1)，所以，积分区域 D 是圆x2+(y 一 1)x1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为【知识模块
7、】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 负号【试题解析】 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定积分域 D：|x|+|y|1因 0x2+y2(|x|+|y|)21，故 ln(x2+y2)ln 1=0，但又不恒等于零，故 (x2+y2)dxdy0【知识模块】 微积分9 【正确答案】 0【试题解析】 设连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数 (f(一 x，y)=一 f(x，y)或关于x 为偶函数(f(一 x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分则有 同理当z=f(x
8、，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 被积函数的特点含有 x2+y2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 由 得交点 A(e，1) 所求平面图形的面积为【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 为：e xye2x，0x1曲线 y=e2x，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1 ，e 2)与(1，e)故【知识模块】 微积分13 【正确答案】 f(0，0)【试题解析】 因被积函数 f(x，y)在闭区
9、域 D：x 2+y2t2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数因 f(x，y)在 D：x 2+y2t2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使因(，)在 D：x 2+y2t2 上，所以当 t0 +时，(，)(0，0)于是【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin，y=rcos ，则原式= 01 dr 02(r2 sin2+r2 cos2)rd=01 r3dr 02d=【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确
10、答案】 结论成立【知识模块】 微积分16 【正确答案】 用反证法设 P0(x0，y 0)D，有 f“xy(x0，y 0)f“yx(x0，y 0)，不妨设 f“xy(x0，y 0)一 f“yx(x0，y 0)0由于 f“xy(x0(x，y)一 f“yx(x0(x，y)=f“xy(x0(x0，y 0)一 f“yx(x0(x0，y 0)0由极限的保号性， 0， 0，当 P(x，y)U(P0，) 时有 f“xy(x，y) 一 f“yx(x，y) 0由(1)， f“xy(x，y)一 f“yx(z，y)-dxdy=0 ，矛盾，故 f“xy(x，y) 与 f“yx(x，y)在 D 上相等【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一方面，有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 如图 15-4【知识模块】 微积分21 【正确答案】 如图 15-5，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 如图 15-6，D=D 1+D2，其中【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分
