1、考研数学三（微积分）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关2 f(x)= 展开成(x 一 3)的幂级数的时候，其收敛区间为 ( )（A）(一 1，1)（B） (一 6，0)（C） (一 3，3)（D）(0 ，6)3 级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛4 当|x|1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1 一 x)（B）（C） ln(x 一 1)（D）一 ln(x 一 1)5 设 un= 则级数 ( )6 函数项级数 的收
2、敛域为 ( )（A）(一 1，1)（B） (一 1，0)（C） 一 1，0（D）一 1，0)7 函数 f(x)= 展开为(x 一 1)的幂级数，则其收敛半径 R 等于 ( )（A）（B） 2（C） 4（D）18 已知级数则 ( )（A）级数(1)收敛，级数 (2)发散（B）级数 (1)发散，级数(2)收敛（C）两级数都收敛（D）两级数都发散9 当级数 ( )（A）一定条件收敛（B）一定绝对收敛（C）一定发散（D）可能收敛，也可能发散10 级数 (a 为常数) ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关11 若正项级数 发散，则 ( )12 设数列a n)单调减少，的收
3、敛域为 ( )（A）(-1，1（B） -1，1)（C） 0，2)（D）(0 ，213 设 un0(n=1，2，)，且 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性由所给条件无法确定二、填空题14 设 a 为正常数，则级数 的敛散性为_ 15 设 a 为常数，若级数 =_16 级数 的和为_17 级数 的收敛域是_18 函数 f(x)= 展开成的(x 一 1)的幂级数为_19 常数项级数 的敛散性为_20 幂级数 在收敛区间(一 a，a) 内的和函数 S(x)为_21 函数 f(x)=cos x 展开成 的幂级数为_22 幂级数 在收敛域(一 1，1)内的和函数 S(x)为_三、解答
4、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 求 (a 为常数， 0|a|e) 24 求25 判别下列级数的敛散性(k1，a1) ：(1) (2) (3)26 判别级数 的敛散性27 判别级数 的敛散性28 判别级数 的敛散性29 判别级数 的敛散性30 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 fn(1)= ，求函数项级数之和30 设有两条抛物线 y=nx2+ 和 y=(n+1)x2+ ，记它们交点的横坐标的绝对值为an，求：31 这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；32 级数 的和33 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间
5、34 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和35 设 an=0n x|sin x|dx，n=1，2，试求 的值36 求级数 的和函数37 求幂级数 的和函数 S(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分7
6、 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则u 2n为单调增数列，故0，从而级数(1) 发散，由级数 发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 因级数 都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法， 绝对收敛【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛，当 a=1 时， 不趋于零，发散，所以，敛散性与 a 有关【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 级数 存在 N，当 nN 时，an2an，由比较
7、审敛法， 必收敛【知识模块】 微积分12 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和再考查取绝对值后的级数 发散，所以发散【知识模块】 微积分二、填空题14 【正确答案】 发散【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 a【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (一 1，1【试题解析】 【
8、知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案
9、】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由泰勒公式，收敛，故原级数发散【试题解析】 这是交错级数，但不易判别|u n|un+1|，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 的级别，需使用泰勒公式【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【试题解析】 这是交错级数，易见：|u n|0，但|u n|un+1|不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由题设条件知，函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n(x)一fn(x)=xn-1ex，【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 由已知展开式知【知识模块】 微积分34 【正确答案】 【知识模块】 微积分35 【正确答案】 令 x=n 一 t，则 an=一 n0(n 一 x)|sint|dt=n0n|sin x|dx 一 0nx|sin x|dx，【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 【知识模块】 微积分
