1、考研数学三（微积分）模拟试卷 70 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求2 求3 求4 设 f(0)=6，且5 设 =e3，其中 f(x)连续，求6 求7 求8 求9 求极限10 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0x(t2 一 x2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求n 及 f(0)11 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 an= f(k)一 1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 f(1)12 设 a0， x10，且定义 xn+1= (n=1，2，)，证明： 存在并求其值13 设 a1=1，当 n
2、1 时，a n+1= 证明：数列a n收敛并求其极限13 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：14 存在 c(0，1) ，使得 f(c)=1 一 2c；15 存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()16 设 =A，证明：数列 an有界17 设 f(x)在0，1上有定义，且 exd(x)与 e 一 f(x)在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续18 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 f(x)存在且大于零证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点19 设 f(x)= 求 f(x)的间断点并判断其类型20 求 的间断点并判断
3、其类型21 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型22 求函数 y=1n(x+ )的反函数23 求极限24 求极限25 证明：26 设 f(x)=a1ln(l+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x 一 1|证明：|a 1+2a2+nan|127 求极限28 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x29 设 f(x)在a，+)上连续，且 存在证明：f(x)在a，+) 上有界30 设 f(x)在a，b
4、上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()31 求32 设 =c(0)，求 n，c 的值33 某人的食量是 2500 卡/天，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重，假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学三（微积分）模拟试卷 70 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【知识模块】 微积分2 【正确
5、答案】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1 一 an=f(x+1)一nn+1f(x)dx=f(n+1)一 f()0(n，n+1)，所以a n单调减少，因为 an= f(k)一 f(x)dx+f(n)，而 kk+1f(k)一 f(x)
6、dx0(k=1，2，n 一 1)且 =a0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x 1，+)，故anf(n)0，所以 存在由 an=f(1)+f(2)一 12f(x)dx+f(n)一 n 一 1nf(x)dx，而 f(k)一 k 一 1k(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 F(x)=所以数列a n单调又因为 a1=1，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令=A，则有【知识模块
7、】 微积分【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 1+2x，(0)=一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0， 1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1 一 2c【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6m 得 m 由介值定理，存在 0，2，使得 于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 微积分16 【正确答案】 取 0=1，因为 =A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有|a n 一 A|1，所以|a n|A
8、|+1取 M=max|a1|，|a 2|，|a N|，|A|+1 ，则对一切的n，有|a n|M【知识模块】 微积分17 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 e 一 f(x)在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x)ex0 一 xf(x0)，令 xx 0 一 ，由夹逼定理得 f(x0 一 0)=f(x0)；当 xx 0 时，有 故 ex0 一 xf(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0+，由夹逼定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x0 一 0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x
9、)在0，1上连续【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 f(x)=k0，取 0= 0，因为 f(x)=k0，所以存在X00，当 xX0 时，有|f(x)一 k| ，从而 f(x) 0，特别地，f(x 0)0，因为 f(x)在a ，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，)因为 所以 x=0 为 f(x)的可去间断点；因为=，所以 x=k(k=1，2， )为 f(x)的第二类间断点；因为 =0，所以 x=k+ (k=0，1，)为 f(x)的可
10、去间断点【知识模块】 微积分20 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，一 1，一 2， 及 x=1当 x=0 时，f(0 一 0)=一 slnl，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x=一 1 时，则 x=一 1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=一2，一 3，)时， =，则 x=k(k=一 2，一 3，)为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 不存在，所以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微积分21 【正确答案】 首先 f(x)=其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1 ，) ，因为 =e，所以 x=0 为函
11、数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 x n+1 一 xn=f(xn)一 f(xn 一 1)=f(n)(xn 一 n 一 1)，因为 f(x)0，所以 n+1一 xn 与 xn 一 n 一 1 同号，故x n单调【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设 =A， 0=
12、1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时， |f(x)一 A|1，从而有|f(x)|A|+1又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有|f(x)|k取M=max|A|+1，k，对一切的 xa，+) ，有|f(x)|M【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(xi)M(i=1，2，n)，注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 kimkif(xi)kiM(i=1，2 ，n) ，同向不等式相加，得(k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，由介值定理，存在a， b，使得 f()= 即 k1(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 输入率为 2500 卡/天，输出率为(1200+16w)，其中 为体重，【知识模块】 微积分
